Un exercice d'arithmétique

[Pavel]

Bonsoir à tous.
Je suis sur un problème d'arithmétique.
Elle a l'air simple, mais je n'arrive pas à faire une question.

Voilà l'énoncé:

a et b sont deux naturels tels que PGCD(a+b,ab)=p² où p est un nombre premier.

1) Démontrez que p²|a²
2) En déduire que p|a et p|b
3) Démontrer que les PGCD(a,b) soit est égal à p, soit est égal à p²

J'ai réussi à faire les deux premières question, mais je n'arrive pas à faire la dernière.

1) a²=a(a+b)-ab donc PGCD(a²,a+b)=PGCD(ab,a+b)=p² donc p²|a² et donc p|a et comme p²|(a+b) donc p|(a+b) on trouve p|b

Merci d'avance pour vos réponses

[Gnörf]

A vus d'oeil ca sent l'identité remarquable : (a+b)²=a²+b²+2ab ... on te demande des truc avec du a² ... enfin bon je me suis pas trop penché sur la question :D je deteste l'arithmétique !

[yos]

d=PGCD(a,b).
d|a+b et d|ab, donc d|p², donc d=1, p, ou p². mais 1 est exclus d'après la question précédente.

[Pavel]

merci bcp
J'imaginais que c'était simple...
Bonne soirée

[flight]

salut

pour la question 1 , je sais pas si c'est hestetique , mais voila:

par definition p²/ (a+b) et p²/ab

il existe Ko et K1 tel que a+b=K1.p² (1)
et ab =Ko.p² (2)

en multipliant (1) par a on obtient

a²+ab=a.K1.p² comme ab=Ko.p²

il vient a²+Ko.p²=a.K1.p² soit a²=p²(aK1-ko)

et on a bien p²/a²

en reprenant (1) et en multipliant les deux mbrs par b

on ab+b²=b.K1.p² comme ab=Ko.p²

il vient Ko.p²+b²=b.k1.p² et b²=p²(b.K1-ko)

et p²/b². à verifier.....