Euler

[shook]

Bonjour,
Voila je bloque a la moitié de mon devoir

Voici l'énoncé :
On se propose d'étudier les fonctions f vérifinat sur [0; + i[ la condition (1) suivante :

f(0)=1
f(x)f '(x)=1

On considère une fonction f vérifiant (1) et g définit par
g(x) = f²(x)-2x

Il faut montrer que la fonction g est une constante et déduire une expression de f(x) pour x réel positif.
Voila si quelqu'un pouvait m'éxpliquer sa serait sympa
Thx!

[Quidam]

Comment montre-t-on qu'une fonction est constante ?

[shook]

Comment montre-t-on qu'une fonction est constante ?

En montrant que g(x)= K mais je n'arrive pas a trouver la constante

[shook]

Mon raisonnement est le suivant ( mais je doute qu'il soit juste).

On sait que g(x)= f²(x)-2x

Or f(x)=f'(x) donc f²(x)=f'²(x)

Donc g(x)= f²(x)-2x =f ' ²(x)-2x
Donc g(x) = f²(x)-f'²(x) =0
Donc g(x)= f²(x)=f ' ²(x)

Or f(x)=1 ( car f(x) * f'(x)=1 )
Donc g(x)=1

[Quidam]

Mon raisonnement est le suivant ( mais je doute qu'il soit juste).

Il est faux !

Or f(x)=f'(x)

Non ! !!!

En admettant que f(x)=f'(x) (ce qui est faux), continuons :

Or f(x)=f'(x) donc f²(x)=f'²(x)
oui,

Donc g(x)= f²(x)-2x =f ' ²(x)-2x
oui,
Donc g(x) = f²(x)-f'²(x) =0
NON !

De quel droit passes-tu de "g(x)= f²(x)-2x =f ' ²(x)-2x" à "g(x) = f²(x)-f'²(x) =0" ? Tu n'as pas le droit de faire cela ! Il y a des règles !

Comment montre-t-on qu'une fonction est constante ?

En montrant que g(x)= K mais je n'arrive pas a trouver la constante

Bien sûr, on peut faire comme cela ! Mais il y a d'autres méthodes ! Par exemple en démontrant que la dérivée de la fonction est nulle ! Et ne crois-tu pas que la connaissance d'une relation comme "f(x)f '(x)=1" soit de nature à te faciliter le calcul de g'(x) ?
Essaye donc de calculer g'(x) !

[shook]

g(x) = f²(x)-2x

Donc g'(x) = f'2(x)-2

donc g'(x) = 1/f²(x) - 2

Mais je vois pas comment trouver une constante a partir de sa?

[Quidam]

g(x) = f²(x)-2x

Donc g'(x) = f'2(x)-2

donc g'(x) = 1/f²(x) - 2

Mais je vois pas comment trouver une constante a partir de sa?

La dérivée de [f(x)]² n'est pas égale à [f '(x)]² ! Où donc as-tu trouvé ce faux théorème ?

[shook]

Ok je comprend mais je suis toujours bloqué
J'ai Donc g'(x) = f'2(x)-2
Mais j'en fait quoi pour trouver ma constante? Quelqu'un pourrait me faire le raisonnement parce que je n'arrive pas a le trouver
Merci

[lapras]

Salut,
quand une dérivée est nulle, alors la fonction est constante.
Tu peux le prouver en disant que le coefficient directeur des tangentes à la courbe représentative de la fonction est nulle donc que ces tangentes sont toujours parralelle à l'axe des abcisses donc que la courbe ne varie pas...
Bref c'est tres géométrique !
Donc pour prouver que g(x) est constante, il faut prouver que...
je te laisse continuer, courage !

[shook]

Eh bien il faut que je montre que les tangentes on une équation du style y=k

On sait que y = f'(a) (x-a) + f(a)

Or f'(a)*f(a)= 1 donc f'(a)= 1/f(a)

Donc y= 1/f(a) (x-a) + f(a)

Mias comment montrer que le coefficient directeur =0 pour chaque point ou la fonction est définie?

[lapras]

arf !
Nan, il faut juste que tu montre que g'(x) = 0 !! :marteau:

[Quidam]

Ok je comprend mais je suis toujours bloqué
J'ai Donc g'(x) = f'2(x)-2

Mais non, tu n'as pas compris ! J'ai dit que :

La dérivée de [f(x)]² n'est pas égale à [f '(x)]² ! Où donc as-tu trouvé ce faux théorème ?

Donc g'(x) n'est pas égal à f'2(x)-2 !!! Comment calcule-t-on la dérivée d'un produit de fonctions ? Par exemple, la dérivée de u*v, c'est quoi ?
Eh bien, ici, on a [f(x)]², c'est bien égal à f(x)*f(x) ! Alors, calcule la dérivée avec les règles que tu a apprises pour la dérivée d'un produit de deux fonctions :

(uv)' =...

[fibonacci]

Bonjour;








d'où





et comme

===>

[shook]

Bonjour,
Merci pour votre aide.
J'ai bien compris vox explications. Mais dans la réponse que vous donner, jee ne comprend pas comment tu passe de cette ligne a celle ci :

g(x)=f^2(x)-2x

g^{'}(x)=2f(x)f^{'}(x)-2

La dérivé de 2x =2 mais je ne comprend pas comment tu fait la dérivée de f²(x) car f²(x) = f(x)*f(x) donc si je fait la dérivée d'un produit je doit trouver :

f'(x)*f(x)+f'(x)*f(x) = 2(f(x)*f'(x))

Ok en fait je viens de comprendre !! Merci de votre aide en tout cas
Donc j'ai ma fonction g constante qui vaut 0.
Donc une expression de f revient a faire :
f²(x)=g(x)+2x
f²(x)= 2x
f(x)=Racine de 2x

Est-ce sa?

[fibonacci]

re;

je pense que c'est cela, il suffit de dérivée f(x) etc et de vérifier toutes les relations.

Plutôt:


je dois m'absenter, je vous souhaite bonne continuation.

[shook]

re;

je pense que c'est cela, il suffit de dérivée f(x) etc et de vérifier toutes les relations.

je dois m'absenter, je vous souhaite bonne continuation.

Je ne pense pas que g(x)=0 car

g(x)=f(x)*f(x)-2x = k

Or si x=0 alors
g(x)=1*1
g(x)=1

Ce qui conconrderai avec ma question suivante!

[Quidam]

Bonjour;








d'où





et comme

===>

Attention ! Le raisonnement est exact, jusqu'à l'avant-dernière ligne. Mais la dernière ligne est fausse ! Le fait que g'(0)=0 n'entraîne pas que g(x)=0, ni même que g(x)=c. Le théorème en question stipule que si une fonction a une dérivée nulle sur un intervalle alors elle est constante sur cet intervalle, mais la dérivée nulle en un seul point ne permet pas de conclure !

En fait, il faut faire la même chose pour tout x.

De on déduit :

Et comme pour tout x, il s'ensuit que :
pour tout x.

C'est exactement pareil que ce qu'a dit Fibonacci, en ne particularisant pas la valeur x=0 !

De là on peut alors déduire : g(x)=c (constante, mais pas forcément 0, ce que Fibonacci a corrigé ensuite)

Plutôt:

Mais il y a encore une petite erreur ici.
De on peut déduire deux choses possibles :
Soit , soit

Enfin, la condition f(0)=1 nous montre que la solution n'est pas bonne, d'une part, et que c=1, puisque :


L'unique solution est donc

[shook]

Ok merci beaucoup j'ai tout compris
Encore merci d'avoir fait preuve de patience