0 est-il un imaginaire pur ?

[celine_beaumont]

Bonsoir

Je me pose cette question car j'ai remarqué que certains ouvrages se contredisent.

Ainsi un livre de terminale S que j'ai sous les yeux donne la définition suivante " Tout nombre complexe non nul dont la partie réelle est nulle est appelé nombre imaginaire pur", ce qui exclus le 0.
Un exercice tel que : trouver l'ensemble des points M d'affixe z tel que f(z)= (z-1)/(z-i) soit un imaginaire pur a dans cet ouvrage pour solution un cercle privé des points d'affixes 1 et i.

Par contre d'autres livres de terminale S en bibliothèque ainsi que les encyclopédies en ligne, stipulent explicitement que 0 appartient aux imaginaires purs et la résolution d'un tel exercice donne un cercle uniquement privé du point d'affixe i.

J'ai posé la question un peu autour de moi et il semblerait que le problème divise la globalité des ouvrages.

Je m'excuse si le problème a déjà été soulevé dans les forums, mais la petite recherche préalable que j'ai effectuée me laisse penser que non.

J'aimerai savoir ce que vous en pensez et s'il existe un ouvrage de référence à ce sujet.

En vous remerciant par avance

[Ericovitchi]

Bof. le point (0,0) est à l'intersection de l'axe réel et de l'axe imaginaire.
On peut donc dire que c'est à la fois un nombre imaginaire et un nombre réel.

[massengo]

Quand on dit que " Tout nombre complexe non nul dont la partie réelle est nulle est appelé nombre imaginaire pur" cela ne veut pas dire que 0 n'est pas imaginaire pur mais que cette definition ici concerne les nombres complexes non nul. Par contre 0=0+0i (sa partie reelle est nulle) et par extensition de la definition 0 devient imaginaire pur. Mais 0 existe depuis l'antiquite avec N bien avant l'apparition de C et donc avant l'existence des imaginaires pur. il serai plus sage de le prendre comme un reel.

[celine_beaumont]

Bonsoir Ericovitchi

Ceci est la réponse de la majorité des gens.

Par contre d'autres avancent que le corps des complexes a été construit a partir des réels en leur ajoutant les imaginaires purs. ( les réels et imaginaires purs comme deux ensembles disjoints, tout comme les réels ont été construit à partir des rationnels et des irrationnels). 0 faisant parti à la base des réels, il ne ferait alors pas parti des imaginaires purs...

Je reconnais que la question a à priori peu d'intérêt, mais je suis surprise et curieuse que la définition des imaginaires purs soit partagée.

[celine_beaumont]

Merci Massengo pour la précision sur la définition donnée, ça m'avait sur le coup échappé.

Par contre la résolution de l'exercice dans l'ouvrage exclus bien f(z)=0 des imaginaires purs, donc c'est à priori bien comme ça que l'ouvrage l'entendait

[Ericovitchi]

oui je ne suis pas vraiment convaincu. Pour moi 0 est à l'intersection de l'axe réel et imaginaire donc il est les deux.

Cela dit il y a sur ce site des théoriciens bien plus forts que moi qui se feront une joie de répondre à cette difficile question éthique ;+)

[Ben314]

Salut,

...les réels et imaginaires purs comme deux ensembles disjoints...

Pourquoi faudrait-il que ces deux ensembles soient disjoints ?
En ce qui me concerne j'aurais tendance à voter "pour" que 0 soit un imaginaire pur : c'est plus joli comme ça : ca fait une droite complète au lieu d'une droite privée d'un point.
En plus cela permet de dire que tout complexe est la somme d'un réel et d'un imaginaire pur alors que si 0 n'était pas un imaginaire pur, un réel x qui s'écrit x=x+Oi ne pourrait pas s'écrire sous la forme "réel+imaginaire pur"
Pour moi, il n'y a rien de choquant : dans C les réels forment une droite, les imaginaires purs forment aussi une droite et ce deux droites ont un point commun : le point 0.

Pour le coté "éthique", comme on est en train de parler d'une définition, chacun fait comme il veut....
MAIS, c'est mieux quand la définition est pratique à utiliser et, ici il est assez clair qu'il est plus "pratique" de considérer que 0 est bien un imaginaire pur.

EDIT : Je pense que tu savait déjà que 0 est un entier naturel, c'est aussi un entier relatif, mais aussi un quotient, de plus c'est un nombre réel et c'est même un nombre complexe.
Qu'y a-t-il de choquant a dire qu'en plus c'est un imaginaire pur ?

[massengo]

Pourquoi faudrait-il que ces deux ensembles soient disjoints ?


Attention disjonction veut dire que l'intersection est nul alors que CinterR=R

[Ben314]

Attention disjonction veut dire que l'intersection est vide alors que C inter R=R

Et en quoi cela intevient t'il concernant le fait que 0 est ou n'est pas imaginaire pur ?

[celine_beaumont]

Citation:
Posté par Ben341
EDIT : Je pense que tu savait déjà que 0 est un entier naturel, c'est aussi un entier relatif, mais aussi un quotient, de plus c'est un nombre réel et c'est même un nombre complexe.
Qu'y a-t-il de choquant a dire qu'en plus c'est un imaginaire pur ?

Ce qui me fait personnellement douter à la base, est le fait que 0 n'est pas un irrationnel alors que les réels est l'ensemble des rationnels (quotients) et irrationnels. Je me demande alors pourquoi ne pourrait-il pas en être de même au niveau des complexes.

[Ben314]

Rappel : savoir si 0 est ou n'est pas imaginaire pur, c'est un problème de définition : on fait comme on veut (mais ça serait quand même plus pratique si tout le monde faisait pareil...)

Les irrationnels, comme le "i" du début l'indique, c'est un peu spécial : c'est l'ensemble de tout les réels qui ne sont pas rationnels, donc, par définition, un nombre ne peut pas être à la fois un rationnel ET un irrationel.

Pour revenir au coté "pratique" de dire que 0 est un imaginaire pur, je vais t'écrire des phrases assez simples :
1) "Tout complexe est la somme d'un réel et d'un imaginaire pur"
2) " La somme de deux imaginaires pur est toujours un imaginaire pur"
3) "Si on multiplie un imaginaire pur par un réel, le résultat est un imaginaire pur"
Et maintenant je te pose la question, si on dit que 0 est imaginaire pur, lesquelles de ces phrases sont vraies ?
Et si on dit que 0 n'est pas un imaginaire pur, lesquelles sont vraies ?

Conclusion, c'est quoi le plus "pratique", de dire que c'est un imaginaire pur ou de dire que ce n'en est pas un ?

[massengo]

Exactement tu as tout compris, donc si on enlève a C tous les imaginaires pur il doit ne rester que R avec notre 0. C est un prolongement de R donc on ajoute que ce qui n'existait pas dans R.

[massengo]

Exactement tu as tout compris, donc si on enlève a C tous les imaginaires pur il doit ne rester que R avec notre 0. C est un prolongement de R donc on ajoute que ce qui n'existait pas dans R.

[Ben314]

Exactement tu as tout compris, donc si on enlève a C tous les imaginaires pur il doit ne rester que R avec notre 0. C est un prolongement de R donc on ajoute que ce qui n'existait pas dans R.

Ca me parrait aussi con que de dire que si j'enlève les quotients de Q il doit obligatoirement rester les entiers !!!!
Les entiers SONT des quotients particulier.
O EST un imaginaire pur particulier et c'EST aussi un réel (et un quotient....)

Je voudrais sincérement comprendre pourquoi tu voudrait qu'il reste 0 quand on enlève les imaginaires purs : de toute façon il ne restera pas que des réels puisqu'il restera par exemple 1+i...

[Ben314]

Bon, si par hasard ça permet de mieux vous convaincre, j'ai tapé "imaginaires pur" sous google et j'ai regardé les 30 premier cites :

0 est un imaginaire pur -> 30/30
0 n'est pas un imaginaire pur -> 0/30

j'ai eu la flemme d'aller plus loin...

Je le (re)dit une dernière fois, chacun fait comme il veut, si à partir de demain tu décide que la définition du mot "rouge" c'est la couleur du ciel, on te mettra pas en prison...

[celine_beaumont]

Le net n'est malheureusement pas une source sûre de référence, les profs nous le répètent souvent lorsqu'il s'agit de faire des exposés.

Sinon tout à fait d'accord avec toi Ben314 sur le fait que c'est un problème de définition.
Donc selon toi, en toute logique, du moment qu'un élève de terminal spécifie bien la définition qu'il choisi, il y a deux réponses possibles à l'exercice "trouver l'ensemble des points M d'affixe z tel que f(z)= (z-1)/(z-i) soit un imaginaire pur",
et il ne devrait pas être pénaliser au bac.

[Skullkid]

Bonsoir, je suis d'accord avec Ben : 0 est un imaginaire pur, et il n'y a pas de comparaison à faire avec la distinction rationnel/irrationnel. Les complexes ne sont pas "le contraire" des réels. Les réels sont des complexes particuliers, 0 est un imaginaire pur particulier, ça n'a rien de choquant, et comme l'a dit Ben c'est plus pratique.

[Ben314]

Donc selon toi, en toute logique, du moment qu'un élève de terminal spécifie bien la définition qu'il choisi, il y a deux réponses possibles à l'exercice "trouver l'ensemble des points M d'affixe z tel que f(z)= (z-1)/(z-i) soit un imaginaire pur",et il ne devrait pas être pénaliser au bac.

S'il spécifie bien la définition, je pense qu'il n'y a pas de problème. Je pense même que s'il existe des bouquins de term pour dire que 0 n'est pas un imaginaire pur, ça signifie que dans un sujet de bac, il doivent plus ou moins être obligé de "rappeler" quelle définition il prennent du mot "imaginaire pur" s'ils l'emploient dans le texte.

En ce qui concerne les prof.... je suis prof et je trouve qu'internet, c'est pas mal pour plein de chose et en particulier pour apprendre à ne pas croirre un truc juste parce que c'est écrit quelque part... (mais il faut apprendre à avoir un certain esprit critique et ça ne se fait pas en un jour...)
A l'université, venant d'un de mes étudiants, je suis pas sûr que j'accepterait qu'il me dise que 0 n'est pas un imaginaire pur (mais lui, il sait ce qu'est un espace vectoriel, un sous espace vectoriel et une base... alors que toi tu ne le sais pas encore)

[celine_beaumont]

Citation:
Posté par ben314
....(mais lui, il sait ce qu'est un espace vectoriel, un sous espace vectoriel et une base... alors que toi tu ne le sais pas encore)

Désolé Ben314, mais je ne vois pas trop le rapport avec connaître ou non les espaces vectoriels, l'algèbre matricielle, ect...

Le fait d'utiliser l'une ou l'autre des définitions des imaginaires purs n'a pas d'impact sur les résultats des exercices demandés aux étudiants en algèbre linéaire, et n'est même pas demandé me semble t'il.

Par contre ça en a un par rapport aux exercices pouvant être posés aux élèves de terminale, ce qui motivait mon questionnement et ma demande.

[Ben314]

La référence à l'algèbre linéaire, c'est que lorsque l'on regarde C comme un espace vectoriel sur R de dimension 2, une définition extrèmement naturelle des imaginaires pur, c'est de dire que c'est le sous espace vectoriel vect{i} engendré par i, c'est à dire l'ensemble de tout les multiples (réels) de i.
Avec cette définition, 0 est évidement un imaginaire pur.

Si tu as fait un peu d'algèbre linéaire, as-tu souvent manipulé des sous espace vectoriels privés du vecteur nul ? (ça peut arriver, mais ce n'est pas trés fréquent)