Espace vectoriel

[cedric125]

bonsoir
comment pourrais-je démontrer que toute famille génératrice et toute famille libre de n vecteurs sont des bases(en montrant que la famille génératrice est une famille libre et que la famille libre est une famille génératrice)

[cedric125]

?

[pascal16]

C'est plutôt niveau "supérieur"

Je pense que tu te places dans un EV de dimension n.

[Ben314]

Salut,
Normalement, c'est le B-A-BA de l'algèbre linéaire. Dans un cours bien fait, tu trouve ça :
(1) Définition d'une famille (finie) libre/liée :
Une famille d'élément de est dite liée lorsque l'un des vecteurs de la famille peut s'écrire comme combinaison linéaire des autres. Elle est dite libre sinon. On montre alors qu'une famille donnée est libre ssi la seule solution du système (avec ) est et que cela équivaut au fait que si un vecteur quelconque s'écrit comme combinaison linéaire des alors cette écriture est unique.
(2) Définition d'une famille (finie) génératrice de E :
Une famille d'élément de est dite génératrice de lorsque tout vecteur de peut s'écrire (d'au moins une façon) comme combinaison linéaires des .
(3) Définition d'une base de E :
Une famille d'élément de est une base lorsque tout vecteur de s'écrit de façon unique comme combinaison linéaires des c'est à dire lorsque la famille est à la fois libre et génératrice de .
(4) En ôtant des éléments (bien choisis) d'une famille génératrice (finie) de E on obtient une base :
Preuve : En effet, si la famille est génératrice mais pas libre, un des élément s'écrit comme combinaison linéaire des autre donc en l'enlevant, la famille reste génératrice. A force on tombe forcément sur une famille libre.
(5) Théorème dit "de la base incomplète" : Si est une famille libre de et est une famille génératrice de alors en ajoutant certains des élément (bien choisis) de la famille génératrice à la famille libre, on en fait une base.
Preuve : Si tout les vecteurs étaient combinaison linéaire des alors tout vecteur de serait combinaison linéaire des (car tout vecteur de est combinaison linéaire des ) donc la famille serait génératrice donc serait déjà une base. Sinon, c'est qu'au moins un des n'est pas combinaison linéaire des et en rajoutant ce vecteur à la famille , elle reste libre. A force de recommencer, on tombe forcément sur une famille génératrice vu que si on devait ajouter tout les on aurait évidement une famille génératrice.
(6) Théorème d'invariance de la dimension : Si admet une base finie alors touts les bases de ont le même nombre d'élément. Ce nombre est appellé la dimension de l'espace vectoriel .
Preuve : Soit et deux bases de avec . Comme est une base de le vecteur est combinaison linéaire des et, comme il est non nul, au moins un des coefficients est non nul.
Quitte à renuméroter les on peut supposer que le coefficient de est non nul et on vérifie facilement que cela implique que est libre et génératrice de donc que c'est une une base de .
On recommence en écrivant comme combinaison linéaire de . Vu que est libre, c'est qu'un des coefficients devant est non nul et, quitte à les renuméroter on peut supposer que le coefficient de est non nul et on montre de nouveau que cela implique que est une base.
On continue de proche en proche pour en déduire que, si on avait , la famille serait une base donc en particulier libre ce qui est absurde vu que est combinaison linéaire des
(7) Corollaire 1 : Si une famille de n=dim(E) vecteur est génératrice, alors c'est une base de E.
Preuve : Si la famille n'était pas une base, c'est à dire pas libre alors, le point (4) nous dirait qu'en enlevant des éléments on tombe sur une base, sauf que c'est impossible vu que toute les bases ont le même cardinal n=dim(E).
(8) Corollaire 2 : Si une famille de n=dim(E) vecteur est libre, alors c'est une base de E.
Preuve : Si la famille n'était pas une base, c'est à dire pas génératrice alors, le point (5) nous dirait qu'en ajoutant des éléments bien choisi d'une base on tomberais sur sur une base, sauf que c'est impossible vu que toute les bases ont le même cardinal n=dim(E).

[cedric125]

c'est ça les démonstrations?
je voyait plus un truc par récurrence moi pour demontrer ça(c'est possible?)

[cedric125]

et bonsoir

[Lostounet]

et bonsoir

Plutôt merci du temps qu'il a mis à te taper ce cours.

[cedric125]

oui et merçi
mais je n'ais pas rejeter ce que Ben314 a dit (en plus que il m'a mis les idées claires sur bien de chose que j'avais pas compris en espace vectoriel)
c'est juste que chaque preuve reste dépendante d'une propriété c'est ce qui me dérange

[Carpate]

Je ne comprends pas cette phrase :

c'est juste que chaque preuve reste dépendante d'une propriété c'est ce qui me dérange