Equation de la sphère

[posso49]

Bonsoir, je cherche de l'aide pour cet exercice:
On donne la sphère S d'équation x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+d=0, la droite D passant par le point A(x0,y0,z0) et de cosinus directeur m,n,p et les points M' et M'' communs à S et D.
On pose r'=AM' et r''=AM'' (en valeur algébrique).
1)Former l'équation du second degré dont les racines sont r' et r''.
2)Montrer que le produit r'r'' est constant lorsque D varie.
Merci.

[Pseuda]

Bonjour,

Tiens je ne connaissais pas la notion de cosinus directeurs d'une droite, qui apparemment, ne sont rien d'autre que les coordonnées d'un (des 2) vecteur unitaire directeur de la droite :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Cosinus_directeur

Concernant ton problème, il s'apparente visiblement à la notion de puissance d'un point par rapport à un cercle (indépendante de la droite passant par ce point qui coupe le cercle), transposée à une sphère (je ne vois pas pourquoi il en serait autrement dans une sphère que dans un cercle) :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Puissance ... _un_cercle

[aviateur]

Bonjour
Je suppose que l'on entend par là que m^2+n^2+p^2=1?
Soit M un point de D. Alors M=A+r u (où j'ai posé u=(m,n,p)) et r=mesure algébrique de AM.
Si M appartient à la sphère ses coordonnées vérifient l'équation. Donc tu remplace les coordonnées de M et tu obtiens une équation du second degré d'inconnue r. C'est tout.
quand il y a des racines réelles r' et r'' (même dans tous les cas ) le produit est facile à écrire et tu devras trouver que c'est une cste.

[aviateur]

Je n'ai pas vu ton message pseuda excuses moi donc
moi aussi cosinus directeur ???

[posso49]

En fait j'obtiens une équation du second degré en r' pour le point M' et une en r'' pour le point M''.
(x0+mr')²+(y0+pr')²+(z0+qr')²-2a(x0+mr')-2b(y0+pr')-2c(z0+qr')+d=0
r'²+2(mx0+py0+qz0-am-bp-cq)r'+x0²+y0²+z0²-2(ax0+by0+cz0)+d=0
et non une équation dont les racines sont r et r'.
Je ne vois pas comment former cette équation.

[Carpate]

Comme te l'a déjà indiqué aviateur :
Pour tout point M de la droite (D), r représente la valeur algébrique du segment AM
En remplaçant dans l'équation de la sphère x par y par , z par , tu obtiens une équation du second degré en r (de discriminant ) qui correspond au cas le plus général :
- aucune intersection : , aucune valeur de r
- un seul point d'intersection (point de tangence) : une seule valeur de r
- 2 points d'intersection : , 2 valeurs de r : r' et r''

[Black Jack]

Salut,

En fait j'obtiens une équation du second degré en r' pour le point M' et une en r'' pour le point M''.
(x0+mr')²+(y0+pr')²+(z0+qr')²-2a(x0+mr')-2b(y0+pr')-2c(z0+qr')+d=0
r'²+2(mx0+py0+qz0-am-bp-cq)r'+x0²+y0²+z0²-2(ax0+by0+cz0)+d=0
et non une équation dont les racines sont r et r'.
Je ne vois pas comment former cette équation.

Je pense que tu te casses la tête pour rien :

Je trouve la même équation que toi... sauf que tu as changé les lettres m, n et p en court de route ???

Mais là où tu penses avoir 2 équations, il n'y en a qu'une qui est :

En corrigeant l'etourderie de changement de lettre mentionnée ci-dessus, on arrive à :

R² + 2R.(m.xo + n.yo + p.zo - a.m - b.n - c.p) + xo² + yo² + zo² -2(a.xo + b.yo + c.zo) + d = 0

Equation du second degré en R dont les solutions réelles (si elles existent) sont les valeurs de r' et de r".

Le produit des 2 racines est r * r' = x0²+y0²+z0²-2(ax0+by0+cz0)+d
La somme des 2 racines est r+ r' = -2.(m.xo + n.yo + p.zo - a.m - b.n - c.p)

...

[posso49]

Effectivement, je me cassais la tête pour rien.
Merci pour vos réponses.