Bonjour
Une question de spé math me tracasse :
"On considere l'equation : 2^n+5^n = 1+5*2^(n+3) , montrez que si n est
solution de l'equation alors n est congru à 0 modulo 4"
Pour repondre à cette question j'ai etudié les congruences modulo 4 de
chaque menbre de l'equation et on trouve que si n >=2 alors 2^n+5^n est
congru à 1 modulo 4 et 1+5*2^(n+3) est congru à 1 modulo 4 egalement.
Mais à mon avis cette demarche ne suffit pas pour repondre à la
question, est il possible malgrés tout avec ce que j'ai fait de repondre
à la question ou faut il faire tout autre chose.
Merci beaucoup pour vos reponses
a+
Eqaution et TS spé
19 messages
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Re: eqaution et TS spé
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:53
"sloug2002" a écrit dans le message de news:
cmkqr2$p9m$1@apollon.grec.isp.9tel.net...
> "On considere l'equation : 2^n+5^n = 1+5*2^(n+3) , montrez que si n est
> solution de l'equation alors n est congru à 0 modulo 4"
>
> Pour repondre à cette question j'ai etudié les congruences modulo 4 de
> chaque menbre de l'equation ...
Bonne première approche. Sauf que ce que tu démontres est que l'étude de
l'équation modulo 4 ne t'amène à quasiment aucune connaissance de n.
N'y aurait-il pas d'autres valeurs p qui mériteraient qu'on étudie
l'équation modulo p ?
cmkqr2$p9m$1@apollon.grec.isp.9tel.net...
> "On considere l'equation : 2^n+5^n = 1+5*2^(n+3) , montrez que si n est
> solution de l'equation alors n est congru à 0 modulo 4"
>
> Pour repondre à cette question j'ai etudié les congruences modulo 4 de
> chaque menbre de l'equation ...
Bonne première approche. Sauf que ce que tu démontres est que l'étude de
l'équation modulo 4 ne t'amène à quasiment aucune connaissance de n.
N'y aurait-il pas d'autres valeurs p qui mériteraient qu'on étudie
l'équation modulo p ?
Re: eqaution et TS spé
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:53
"sloug2002" a écrit dans le message de news:
cmkqr2$p9m$1@apollon.grec.isp.9tel.net...
> Bonjour
>
> Une question de spé math me tracasse :
> "On considere l'equation : 2^n+5^n = 1+5*2^(n+3) , montrez que si n est
> solution de l'equation alors n est congru à 0 modulo 4"
>
> Pour repondre à cette question j'ai etudié les congruences modulo 4 de
> chaque menbre de l'equation et on trouve que si n >=2 alors 2^n+5^n est
> congru à 1 modulo 4 et 1+5*2^(n+3) est congru à 1 modulo 4 egalement.
> Mais à mon avis cette demarche ne suffit pas pour repondre à la
> question, est il possible malgrés tout avec ce que j'ai fait de repondre
> à la question ou faut il faire tout autre chose.
Et si tu regardais tout ça modulo 5 ?
> Merci beaucoup pour vos reponses
>
> a+
cmkqr2$p9m$1@apollon.grec.isp.9tel.net...
> Bonjour
>
> Une question de spé math me tracasse :
> "On considere l'equation : 2^n+5^n = 1+5*2^(n+3) , montrez que si n est
> solution de l'equation alors n est congru à 0 modulo 4"
>
> Pour repondre à cette question j'ai etudié les congruences modulo 4 de
> chaque menbre de l'equation et on trouve que si n >=2 alors 2^n+5^n est
> congru à 1 modulo 4 et 1+5*2^(n+3) est congru à 1 modulo 4 egalement.
> Mais à mon avis cette demarche ne suffit pas pour repondre à la
> question, est il possible malgrés tout avec ce que j'ai fait de repondre
> à la question ou faut il faire tout autre chose.
Et si tu regardais tout ça modulo 5 ?
> Merci beaucoup pour vos reponses
>
> a+
Re: eqaution et TS spé
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:53
Le 07/11/2004 10:47, sloug2002 a écrit :
>
> "On considere l'equation : 2^n+5^n = 1+5*2^(n+3) , montrez que si n est
> solution de l'equation alors n est congru à 0 modulo 4"
>
> Pour repondre à cette question j'ai etudié les congruences modulo 4 de
> chaque menbre de l'equation et on trouve que si n >=2 alors 2^n+5^n est
> congru à 1 modulo 4 et 1+5*2^(n+3) est congru à 1 modulo 4 egalement.
> Mais à mon avis cette demarche ne suffit pas pour repondre à la
> question, est il possible malgrés tout avec ce que j'ai fait de repondre
> à la question ou faut il faire tout autre chose.
Tu vas répondre à ta question toi-même, avec cette nouvelle question :
"On considere l'equation : 2^n+5^n = 5^n+2^n , peut-on montrer que si n
est solution de l'equation alors n est congru à 0 modulo 4 ?"
On trouve que si n>=2 alors 2^n+5^n est congru à 1 modulo 4 et 5^n+2^n
est congru à 1 modulo 4 egalement.
Est-ce que cela prouve que n est forcément congru à 0 modulo 4 ?
Ce que je te propose, c'est de calculer quelques premières valeurs de
2^n+5^n et de 1+5*2^(n+3). Tu devrais voir assez vite quelles
congruences sont utiles pour répondre au problème.
>
> "On considere l'equation : 2^n+5^n = 1+5*2^(n+3) , montrez que si n est
> solution de l'equation alors n est congru à 0 modulo 4"
>
> Pour repondre à cette question j'ai etudié les congruences modulo 4 de
> chaque menbre de l'equation et on trouve que si n >=2 alors 2^n+5^n est
> congru à 1 modulo 4 et 1+5*2^(n+3) est congru à 1 modulo 4 egalement.
> Mais à mon avis cette demarche ne suffit pas pour repondre à la
> question, est il possible malgrés tout avec ce que j'ai fait de repondre
> à la question ou faut il faire tout autre chose.
Tu vas répondre à ta question toi-même, avec cette nouvelle question :
"On considere l'equation : 2^n+5^n = 5^n+2^n , peut-on montrer que si n
est solution de l'equation alors n est congru à 0 modulo 4 ?"
On trouve que si n>=2 alors 2^n+5^n est congru à 1 modulo 4 et 5^n+2^n
est congru à 1 modulo 4 egalement.
Est-ce que cela prouve que n est forcément congru à 0 modulo 4 ?
Ce que je te propose, c'est de calculer quelques premières valeurs de
2^n+5^n et de 1+5*2^(n+3). Tu devrais voir assez vite quelles
congruences sont utiles pour répondre au problème.
Re: eqaution et TS spé
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:53
"Patrick Coilland" a écrit dans le message de news:
418df5a6$0$22021$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
> "sloug2002" a écrit dans le message de news:
> cmkqr2$p9m$1@apollon.grec.isp.9tel.net...
>[color=green]
> > "On considere l'equation : 2^n+5^n = 1+5*2^(n+3) , montrez que si n est
> > solution de l'equation alors n est congru à 0 modulo 4"[/color]
[...]
> N'y aurait-il pas d'autres valeurs p qui mériteraient qu'on étudie
> l'équation modulo p ?
Oui, bon, j'ai vendu la mèche. Pardon.
Hib.
418df5a6$0$22021$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
> "sloug2002" a écrit dans le message de news:
> cmkqr2$p9m$1@apollon.grec.isp.9tel.net...
>[color=green]
> > "On considere l'equation : 2^n+5^n = 1+5*2^(n+3) , montrez que si n est
> > solution de l'equation alors n est congru à 0 modulo 4"[/color]
[...]
> N'y aurait-il pas d'autres valeurs p qui mériteraient qu'on étudie
> l'équation modulo p ?
Oui, bon, j'ai vendu la mèche. Pardon.
Hib.
Re: [HS] eqaution et TS spé
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:53
"Hibernatus" a écrit
> Oui, bon, j'ai vendu la mèche. Pardon.
Oh, No Pb. J'avais fait pareil quelques posts plus haut en me croyant sur
fsm et non feem !
A propos, d'où vient l'expression "vendre la mèche ?"
> Oui, bon, j'ai vendu la mèche. Pardon.
Oh, No Pb. J'avais fait pareil quelques posts plus haut en me croyant sur
fsm et non feem !
A propos, d'où vient l'expression "vendre la mèche ?"
Re: [HS] eqaution et TS spé
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:53
"Patrick Coilland" a écrit dans le message de news:
418e03cb$0$15891$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
> "Hibernatus" a écrit[color=green]
> > Oui, bon, j'ai vendu la mèche. Pardon.
>
> Oh, No Pb. J'avais fait pareil quelques posts plus haut en me croyant sur
> fsm et non feem !
>
> A propos, d'où vient l'expression "vendre la mèche ?"[/color]
Bonne question.
Hib.
418e03cb$0$15891$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
> "Hibernatus" a écrit[color=green]
> > Oui, bon, j'ai vendu la mèche. Pardon.
>
> Oh, No Pb. J'avais fait pareil quelques posts plus haut en me croyant sur
> fsm et non feem !
>
> A propos, d'où vient l'expression "vendre la mèche ?"[/color]
Bonne question.
Hib.
Re: eqaution et TS spé
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:53
> Et si tu regardais tout ça modulo 5 ?
j'ai effectivement regardé modulo 5 et voilà le fruit de ma recherche :
avec n>0
si n =4k 5^n+2^n congru à 1 modulo 5
si n =4k+1 5^n+2^n congru à 2 modulo 5
si n =4k+2 5^n+2^n congru à 4 modulo 5
si n=4k+3 5^n+2^n congru à 3 modulo 5
et vu que 1 est toujours congru à 1 modulo 5 et 5 congru à 0 modulo 5,
1+5*2^(n+3) est congru à 1 modulo 5
donc si 1+5*2^(n+3)=5^n+2^n alors n=4k c'est à dire n est congru à 0
modulo 4
donc j'ai compris le principe mais cette etude est un cas particulier,
cela ne suffit pas pour faire ma demonstration
j'ai effectivement regardé modulo 5 et voilà le fruit de ma recherche :
avec n>0
si n =4k 5^n+2^n congru à 1 modulo 5
si n =4k+1 5^n+2^n congru à 2 modulo 5
si n =4k+2 5^n+2^n congru à 4 modulo 5
si n=4k+3 5^n+2^n congru à 3 modulo 5
et vu que 1 est toujours congru à 1 modulo 5 et 5 congru à 0 modulo 5,
1+5*2^(n+3) est congru à 1 modulo 5
donc si 1+5*2^(n+3)=5^n+2^n alors n=4k c'est à dire n est congru à 0
modulo 4
donc j'ai compris le principe mais cette etude est un cas particulier,
cela ne suffit pas pour faire ma demonstration
Re: eqaution et TS spé
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:53
"sloug2002" a écrit dans le message de news:
cml0pk$s6q$1@apollon.grec.isp.9tel.net...[color=green]
>> Et si tu regardais tout ça modulo 5 ?
>
> j'ai effectivement regardé modulo 5 et voilà le fruit de ma recherche :
> avec n>0[/color]
en toute rigueur, il faut justifier (aisément) la restriction n > 0
>
> donc si 1+5*2^(n+3)=5^n+2^n alors n=4k c'est à dire n est congru à 0
> modulo 4
c'est exactement ta question initiale
> donc j'ai compris le principe mais cette etude est un cas particulier,
> cela ne suffit pas pour faire ma demonstration
Que te manque-t-il ?
cml0pk$s6q$1@apollon.grec.isp.9tel.net...[color=green]
>> Et si tu regardais tout ça modulo 5 ?
>
> j'ai effectivement regardé modulo 5 et voilà le fruit de ma recherche :
> avec n>0[/color]
en toute rigueur, il faut justifier (aisément) la restriction n > 0
>
> donc si 1+5*2^(n+3)=5^n+2^n alors n=4k c'est à dire n est congru à 0
> modulo 4
c'est exactement ta question initiale
> donc j'ai compris le principe mais cette etude est un cas particulier,
> cela ne suffit pas pour faire ma demonstration
Que te manque-t-il ?
Re: eqaution et TS spé
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:53
Olivier Miakinen a écrit :
> Ce que je te propose, c'est de calculer quelques premières valeurs de
> 2^n+5^n et de 1+5*2^(n+3). Tu devrais voir assez vite quelles
> congruences sont utiles pour répondre au problème.
n 2^n+5^n 1+5*2^(n+3)
0 2 41
1 7 81
2 29 161
3 133 321
4 641 641
5 3157 1281
6 15689 2561
7 78253 5121
8 390881 10241
9 1953637 20481
10 9766649 40961
11 48830173 81921
12 244144721 163841
voilà les resultats obtenus, ce qui me chagrine un peu c'est que si ce
qu'on pensait etre vrai c'est à dire pour que l'equation soir vrai n=4k
on aurait du pouvoir le verifier pour 0,4,8,12 or ça marche que pour 4
Je comprends pas ?
> Ce que je te propose, c'est de calculer quelques premières valeurs de
> 2^n+5^n et de 1+5*2^(n+3). Tu devrais voir assez vite quelles
> congruences sont utiles pour répondre au problème.
n 2^n+5^n 1+5*2^(n+3)
0 2 41
1 7 81
2 29 161
3 133 321
4 641 641
5 3157 1281
6 15689 2561
7 78253 5121
8 390881 10241
9 1953637 20481
10 9766649 40961
11 48830173 81921
12 244144721 163841
voilà les resultats obtenus, ce qui me chagrine un peu c'est que si ce
qu'on pensait etre vrai c'est à dire pour que l'equation soir vrai n=4k
on aurait du pouvoir le verifier pour 0,4,8,12 or ça marche que pour 4
Je comprends pas ?
Re: eqaution et TS spé
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:53
> voilà les resultats obtenus, ce qui me chagrine un peu c'est que si ce
> qu'on pensait etre vrai c'est à dire pour que l'equation soir vrai n=4k on
> aurait du pouvoir le verifier pour 0,4,8,12 or ça marche que pour 4
> Je comprends pas ?
Il ne faut pas confondre :
"si 1+5*2^(n+3)=5^n+2^n alors n=4k c'est à dire n est congru à 0 modulo 4"
qui est ce que l'on te demande, et qui donne une condition nécessaire pour n
mais pas forcément suffisante
avec
"si n est congru à 0 modulo 4, alors 1+5*2^(n+3)=5^n+2^n "
qui est en général faux, ainsi que tu le constates, mais qui n'est pas ce
que l'on te demande.
Re: eqaution et TS spé
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:53
"Patrick Coilland" a écrit dans le message de news:
418e0b55$0$22057$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>[color=green]
> > voilà les resultats obtenus, ce qui me chagrine un peu c'est que si ce
> > qu'on pensait etre vrai c'est à dire pour que l'equation soir vrai n=4k[/color]
on[color=green]
> > aurait du pouvoir le verifier pour 0,4,8,12 or ça marche que pour 4
> > Je comprends pas ?
>
> Il ne faut pas confondre :
>
> "si 1+5*2^(n+3)=5^n+2^n alors n=4k c'est à dire n est congru à 0 modulo[/color]
4"
>
> qui est ce que l'on te demande, et qui donne une condition nécessaire pour
n
> mais pas forcément suffisante
>
> avec
>
> "si n est congru à 0 modulo 4, alors 1+5*2^(n+3)=5^n+2^n "
>
> qui est en général faux, ainsi que tu le constates, mais qui n'est pas ce
> que l'on te demande.
Tout à fait.
Un petit commentaire sur "pourquoi 5" :
Les matheux sont des feignasses (second degré, les gars, second degré), et
quand ils peuvent se faciliter les choses, eh bin, ils le font.
Ici, une puissance de 5 apparaît dans les deux termes, on se dit donc que
modulo 5, ça sera beaucoup plus facile à manipuler. D'où le résultat.
Hib.
418e0b55$0$22057$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>[color=green]
> > voilà les resultats obtenus, ce qui me chagrine un peu c'est que si ce
> > qu'on pensait etre vrai c'est à dire pour que l'equation soir vrai n=4k[/color]
on[color=green]
> > aurait du pouvoir le verifier pour 0,4,8,12 or ça marche que pour 4
> > Je comprends pas ?
>
> Il ne faut pas confondre :
>
> "si 1+5*2^(n+3)=5^n+2^n alors n=4k c'est à dire n est congru à 0 modulo[/color]
4"
>
> qui est ce que l'on te demande, et qui donne une condition nécessaire pour
n
> mais pas forcément suffisante
>
> avec
>
> "si n est congru à 0 modulo 4, alors 1+5*2^(n+3)=5^n+2^n "
>
> qui est en général faux, ainsi que tu le constates, mais qui n'est pas ce
> que l'on te demande.
Tout à fait.
Un petit commentaire sur "pourquoi 5" :
Les matheux sont des feignasses (second degré, les gars, second degré), et
quand ils peuvent se faciliter les choses, eh bin, ils le font.
Ici, une puissance de 5 apparaît dans les deux termes, on se dit donc que
modulo 5, ça sera beaucoup plus facile à manipuler. D'où le résultat.
Hib.
Re: eqaution et TS spé
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:53
Patrick Coilland a écrit :
> en toute rigueur, il faut justifier (aisément) la restriction n > 0
la restriction se justifie car si n= 0 alors 5^n est congru à 1 modulo 5
donc 2^n+5^n serait congru à 2 modulo 5
[color=green]
>>donc si 1+5*2^(n+3)=5^n+2^n alors n=4k c'est à dire n est congru à 0
>>modulo 4
>
>
> c'est exactement ta question initiale[/color]
> Que te manque-t-il ?
Cela me semble incomplet car il faudrait raisonner pour tous les cas
c'est à dire pas seulement modulo 5, mais modulo p, ai je raison, ou je
raisonne à l'envers?
> en toute rigueur, il faut justifier (aisément) la restriction n > 0
la restriction se justifie car si n= 0 alors 5^n est congru à 1 modulo 5
donc 2^n+5^n serait congru à 2 modulo 5
[color=green]
>>donc si 1+5*2^(n+3)=5^n+2^n alors n=4k c'est à dire n est congru à 0
>>modulo 4
>
>
> c'est exactement ta question initiale[/color]
> Que te manque-t-il ?
Cela me semble incomplet car il faudrait raisonner pour tous les cas
c'est à dire pas seulement modulo 5, mais modulo p, ai je raison, ou je
raisonne à l'envers?
Vendre la meche [Fut [HS] equation et TS spe ]
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:53
Le 07/11/2004 12:15, Patrick Coilland a écrit :
>
> A propos, d'où vient l'expression "vendre la mèche ?"
C'est une question pour fr.lettres.langue.francaise [ copie et suivi
positionnés ]
>
> A propos, d'où vient l'expression "vendre la mèche ?"
C'est une question pour fr.lettres.langue.francaise [ copie et suivi
positionnés ]
Re: eqaution et TS spé
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:53
"sloug2002" a écrit dans le message de news:
cml6hp$nor$1@aphrodite.grec.isp.9tel.net...
> Patrick Coilland a écrit :
>[color=green]
> > en toute rigueur, il faut justifier (aisément) la restriction n > 0
>
> la restriction se justifie car si n= 0 alors 5^n est congru à 1 modulo 5
> donc 2^n+5^n serait congru à 2 modulo 5
>[color=darkred]
> >>donc si 1+5*2^(n+3)=5^n+2^n alors n=4k c'est à dire n est congru à 0
> >>modulo 4
> >
> >
> > c'est exactement ta question initiale[/color]
>
> > Que te manque-t-il ?
>
> Cela me semble incomplet car il faudrait raisonner pour tous les cas
> c'est à dire pas seulement modulo 5, mais modulo p, ai je raison, ou je
> raisonne à l'envers?[/color]
Si l'équation est vérifiée, alors elle est vérifiée modulo n'importe quel
entier.
Si l'équation est vérifiée, alors elle est vérifiée modulo 5.
Ensuite tu as résolu l'équation modulo 5 et obtenu comme solution tous les
multiples de 4.
Donc, si n vérifie l'équation de départ, c'est forcément un multiple de 4.
CQFD
Jamais il n'a été dit que si 4|n alors n est solution de l'équation
initiale.
Ca pose problème ?
cml6hp$nor$1@aphrodite.grec.isp.9tel.net...
> Patrick Coilland a écrit :
>[color=green]
> > en toute rigueur, il faut justifier (aisément) la restriction n > 0
>
> la restriction se justifie car si n= 0 alors 5^n est congru à 1 modulo 5
> donc 2^n+5^n serait congru à 2 modulo 5
>[color=darkred]
> >>donc si 1+5*2^(n+3)=5^n+2^n alors n=4k c'est à dire n est congru à 0
> >>modulo 4
> >
> >
> > c'est exactement ta question initiale[/color]
>
> > Que te manque-t-il ?
>
> Cela me semble incomplet car il faudrait raisonner pour tous les cas
> c'est à dire pas seulement modulo 5, mais modulo p, ai je raison, ou je
> raisonne à l'envers?[/color]
Si l'équation est vérifiée, alors elle est vérifiée modulo n'importe quel
entier.
Si l'équation est vérifiée, alors elle est vérifiée modulo 5.
Ensuite tu as résolu l'équation modulo 5 et obtenu comme solution tous les
multiples de 4.
Donc, si n vérifie l'équation de départ, c'est forcément un multiple de 4.
CQFD
Jamais il n'a été dit que si 4|n alors n est solution de l'équation
initiale.
Ca pose problème ?
Re: eqaution et TS spé
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:53
Hibernatus a écrit :
> Ca pose problème ?
en clair, la congruence modulo 5, n'est qu'n moyen de prouver que si n
est solutioon alors n=4k donc on repond donc bien à la question. Mais
comment rediger l'exercice, comment expliquer qu'on resoud l'equation
modulo 5 et pas 6 ou 42.
> Ca pose problème ?
en clair, la congruence modulo 5, n'est qu'n moyen de prouver que si n
est solutioon alors n=4k donc on repond donc bien à la question. Mais
comment rediger l'exercice, comment expliquer qu'on resoud l'equation
modulo 5 et pas 6 ou 42.
Re: eqaution et TS spé
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:53
"sloug2002" a écrit dans le message de news:
cml6hp$nor$1@aphrodite.grec.isp.9tel.net...
> Patrick Coilland a écrit :
>[color=green]
>> en toute rigueur, il faut justifier (aisément) la restriction n > 0
>
> la restriction se justifie car si n= 0 alors 5^n est congru à 1 modulo 5
> donc 2^n+5^n serait congru à 2 modulo 5[/color]
OK
>
>[color=green]
>> Que te manque-t-il ?
>
> Cela me semble incomplet car il faudrait raisonner pour tous les cas c'est
> à dire pas seulement modulo 5, mais modulo p, ai je raison, ou je raisonne
> à l'envers?[/color]
Je pense que tu raisonnes à l'envers.
Hypothèse : "
Entraîne : équation vraie (pour ce n) modulo p quel que soit p
Entraîne : équation vraie (pour ce n) modulo 5
Entraîne : n = 0 modulo 4
FIN.
On cherche simplement à démontre "équation vraie (pour ce n) modulo p quel
que soit p" entraîne "n est congru à 0 modulo 4". Ce qui est fait.
Tu peux t'intéresser à prendre l'équation modulo p avec p différent de 5
pour voir si tu peux en tirer des enseignements intéressants sur n, mais
c'est "pour le plaisir", et sans utilité pour le propos initial.
En faisant cela, tu apprendrais :
Modulo 2 : (et n >0) 1 = 1, peu intéressant
Modulo 3 : n pair
Modulo 4 : 1=1 si n > 1
Modulo 5 : n = 0 modulo 4
Modulo 6 : n>0 et n pair
Modulo 7 : n = 4 ou 5 modulo 6
.....
Just for fun
cml6hp$nor$1@aphrodite.grec.isp.9tel.net...
> Patrick Coilland a écrit :
>[color=green]
>> en toute rigueur, il faut justifier (aisément) la restriction n > 0
>
> la restriction se justifie car si n= 0 alors 5^n est congru à 1 modulo 5
> donc 2^n+5^n serait congru à 2 modulo 5[/color]
OK
>
>[color=green]
>> Que te manque-t-il ?
>
> Cela me semble incomplet car il faudrait raisonner pour tous les cas c'est
> à dire pas seulement modulo 5, mais modulo p, ai je raison, ou je raisonne
> à l'envers?[/color]
Je pense que tu raisonnes à l'envers.
Hypothèse : "
Entraîne : équation vraie (pour ce n) modulo p quel que soit p
Entraîne : équation vraie (pour ce n) modulo 5
Entraîne : n = 0 modulo 4
FIN.
On cherche simplement à démontre "équation vraie (pour ce n) modulo p quel
que soit p" entraîne "n est congru à 0 modulo 4". Ce qui est fait.
Tu peux t'intéresser à prendre l'équation modulo p avec p différent de 5
pour voir si tu peux en tirer des enseignements intéressants sur n, mais
c'est "pour le plaisir", et sans utilité pour le propos initial.
En faisant cela, tu apprendrais :
Modulo 2 : (et n >0) 1 = 1, peu intéressant
Modulo 3 : n pair
Modulo 4 : 1=1 si n > 1
Modulo 5 : n = 0 modulo 4
Modulo 6 : n>0 et n pair
Modulo 7 : n = 4 ou 5 modulo 6
.....
Just for fun
Re: eqaution et TS spé
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:53
"sloug2002" a écrit dans le message de news:
cmlbmm$3rb$1@apollon.grec.isp.9tel.net...
> Hibernatus a écrit :[color=green]
> > Ca pose problème ?
>
> en clair, la congruence modulo 5, n'est qu'n moyen de prouver que si n
> est solutioon alors n=4k donc on repond donc bien à la question. Mais
> comment rediger l'exercice, comment expliquer qu'on resoud l'equation
> modulo 5 et pas 6 ou 42.[/color]
C'est ça.
Patrick Coilland l'explique très bien. Pour justifier le 5, voir mon autre
post.
Hib.
cmlbmm$3rb$1@apollon.grec.isp.9tel.net...
> Hibernatus a écrit :[color=green]
> > Ca pose problème ?
>
> en clair, la congruence modulo 5, n'est qu'n moyen de prouver que si n
> est solutioon alors n=4k donc on repond donc bien à la question. Mais
> comment rediger l'exercice, comment expliquer qu'on resoud l'equation
> modulo 5 et pas 6 ou 42.[/color]
C'est ça.
Patrick Coilland l'explique très bien. Pour justifier le 5, voir mon autre
post.
Hib.
Re: eqaution et TS spé
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:53
Le 07/11/2004 16:40, Hibernatus répondait à sloug2002 :[color=green]
>>
>> en clair, la congruence modulo 5, n'est qu'n moyen de prouver que si n
>> est solutioon alors n=4k donc on repond donc bien à la question. Mais
>> comment rediger l'exercice, comment expliquer qu'on resoud l'equation
>> modulo 5 et pas 6 ou 42.
>
> C'est ça.
> Patrick Coilland l'explique très bien. Pour justifier le 5, voir mon autre
> post.[/color]
Sinon, en calculant quelques valeurs comme je le suggérais, on se rend
vite compte que tous les 1+5*2^(n+3) se terminent par le chiffre 1 (en
base 10) alors que cela n'arrive qu'une fois sur quatre pour les
2^n+5^n, comme quoi la congruence modulo 10 donne aussi la réponse.
>>
>> en clair, la congruence modulo 5, n'est qu'n moyen de prouver que si n
>> est solutioon alors n=4k donc on repond donc bien à la question. Mais
>> comment rediger l'exercice, comment expliquer qu'on resoud l'equation
>> modulo 5 et pas 6 ou 42.
>
> C'est ça.
> Patrick Coilland l'explique très bien. Pour justifier le 5, voir mon autre
> post.[/color]
Sinon, en calculant quelques valeurs comme je le suggérais, on se rend
vite compte que tous les 1+5*2^(n+3) se terminent par le chiffre 1 (en
base 10) alors que cela n'arrive qu'une fois sur quatre pour les
2^n+5^n, comme quoi la congruence modulo 10 donne aussi la réponse.
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