[TS+] Endomorphismes de R

par **benekire2** » 16 Aoû 2010, 14:35

Je cherche pour ce qui est du contre exemple.

les ln(p) pour p premiers est une famille libre mais je vois pas comment montrer que c'est une famille génératrice de R. Cela dit il se pourrait très très bien que elle ne soit pas génératrice du tout i.e que ma famille ne soit pas une base de R.

Je crois avoir lu quelque part que le graphe d'une application de R dans R vérifiant f(x+y)=f(x)+f(y) qui n'est pas continue est dense dans R² ... ca ma plairait bien de montré ce résultat :zen:

par **Alpha** » 16 Aoû 2010, 14:50

benekire2 a écrit:les ln(p) pour p premiers est une famille libre mais je vois pas comment montrer que c'est une famille génératrice de R. Cela dit il se pourrait très très bien que elle ne soit pas génératrice du tout i.e que ma famille ne soit pas une base de R.

Je pense que la base en elle-même n'a aucune importance, ce qui compte, c'est de déterminer les images des éléments de la base de sorte que la relation f(x+y)=f(x)+f(y) soit toujours vérifiée pour x, y éléments de la base, puisque ca nous assurera que ce soit vrai pour tout x, y, si j'ai bien compris l'idée (et il faut aussi vérifier que la fonction ainsi construite n'est pas de la forme x -> ax).

Enfin, d'un autre côté, si ca se trouve, je me plante bien :briques:

Une piste, lapras?

par **lapras** » 16 Aoû 2010, 15:05

En fait je ne vois pas où est le probleme :
on a l'existence d'une base, et ayant déterminé f sur cette base de façon non triviale (par exemple en réalisant une permutation de la base), on définit f(somme lambda_i e_i) = somme lambda_i f(e_i) et on vérifie bien que f(x+y)=f(x)+f(y) par unicité de la décomposition.

par **Alpha** » 16 Aoû 2010, 15:11

lapras a écrit:on a l'existence d'une base, et ayant déterminé f sur cette base de façon non triviale (par exemple en réalisant une permutation de la base), on définit f(somme lambda_i e_i) = somme lambda_i f(e_i) et on vérifie bien que f(x+y)=f(x)+f(y) par unicité de la décomposition.

C'est bien ce que j'avais compris et je suis d'accord, mais quand est-ce qu'on prouve que la fonction ainsi construite n'est pas de la forme x -> ax?

par **lapras** » 16 Aoû 2010, 15:12

Et bien en prenant une permutation non identité de la base, par exemple f(e_1)=e_2 et f(e_2)=e_1 (transposition)

par **Alpha** » 16 Aoû 2010, 15:18

lapras a écrit:Et bien en prenant une permutation non identité de la base, par exemple f(e_1)=e_2 et f(e_2)=e_1 (transposition)

C'est ce que j'étais en train de me dire en relisant ton message précédent où tu parlais de permutation, mais j'étais perplexe devant la simplicité du truc. En effet ca semble marcher, bien joué. :lol4:

par **benekire2** » 16 Aoû 2010, 15:30

Alpha a écrit:Oui mais non benekire, car la densité de Q dans R sert justement à passer à la limite... et utiliser la continuité de f pour dire que ca marche bien sur R. Sauf erreur de ma part.

Je fini ma preuve: Si f(q)=q'>q alors ]q,q'[ contient un rationnel i.e il existe p tel que p>q et f(p)<f(q) ce qui contredit la stricte croissance de f.
Sauf erreur (plausible ... )

par **benekire2** » 16 Aoû 2010, 15:37

D'accord du coup pas besoin d'avoir de base ... d'ailleurs la base que j'avais ( qui n'en est pas une !! ) est dénombrable d'où la fausseté de ce que je cherchait a montré ..

Et comment fait on pour montrer a densité dans R² de cette application ? Merci !

par **Nightmare** » 16 Aoû 2010, 17:43

benekire2 a écrit:on remarque que f(x)=f(racine(x))²>=0

Pourquoi ceci?

Lapras > Ca marche, pas besoin de trop permuter, on envoie chaque vecteur de la base sur lui même, sauf un qu'on envoie sur 0.

par **benekire2** » 16 Aoû 2010, 19:06

re,

parce que f(xy)=f(x)f(y) , alors en prenant racine(x) pour x et y on a ce que je dit.

par **Nightmare** » 16 Aoû 2010, 19:12

Ah, je nous croyais sur les endomorphismes de groupes, pas de corps. C'est ok donc.

par **Nightmare** » 17 Aoû 2010, 01:53

Lapras > Sauf erreur, ton application est quand même Q-linéaire. En vois-tu qui ne l'est pas ?

par **benekire2** » 17 Aoû 2010, 09:01

Nightmare a écrit:Ah, je nous croyais sur les endomorphismes de groupes, pas de corps. C'est ok donc.

voui voui c'est la question originelle :zen: ( mais j'avais fait un détour sur f(x+y)=f(x)+f(y) tout seul pour permettre a dinozzo de remarquer qu'il n'y a pas beaucoup de fonctions vérifiant ça puis de remettre dans la seconde équation fonctionnelle. A l'évidence j'avais tort , bien que ce soit comme ça que j'ai conjecturé le résultat moi même )

Sinon j'aimerais bien voir une appli qui n'est pas Q-linéaire vérifiant f(x+y)=f(x)+f(y) ...

par **Alpha** » 17 Aoû 2010, 09:23

benekire2 a écrit:Je fini ma preuve: Si f(q)=q'>q alors ]q,q'[ contient un rationnel i.e il existe p tel que p>q et f(p)<f(q) ce qui contredit la stricte croissance de f.
Sauf erreur (plausible ... )

En effet c'est juste, mais comme Nightmare j'étais resté sur l'affirmation au sujet des endomorphismes de groupe seuls. Belle démo :lol4:

par **Finrod** » 17 Aoû 2010, 11:38

Sinon j'aimerais bien voir une appli qui n'est pas Q-linéaire vérifiant f(x+y)=f(x)+f(y) ...

Moi aussi.

Sans Q-base donc...

par **Nightmare** » 17 Aoû 2010, 12:59

Idée : On considère la projection sur Q parallèlement à un de ses supplémentaire dans R.

par **benekire2** » 17 Aoû 2010, 13:25

Salut,

Je vais regarder tout ça. L'ennui c'est que je débute en algèbre linéaire et les projections j'ai vu ça très très rapidement. Je promet rien

par **Doraki** » 17 Aoû 2010, 15:21

benekire2 a écrit:Sinon j'aimerais bien voir une appli qui n'est pas Q-linéaire vérifiant f(x+y)=f(x)+f(y) ...

Ca n'existe pas.

par **Finrod** » 17 Aoû 2010, 16:52

Et du coup la projection de Nightmare ? (#36)

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