[TS+] Endomorphismes de R

par **benekire2** » 15 Aoû 2010, 15:49

Salut à tous !

Je propose aujourd'hui un exercice classique de sup mais faisable par un TS :

Définition. On appelle endomorphisme de corps sur R une application f R--> R telle que pour tout x et y réels f(x+y)=f(x)+f(y) et f(xy)=f(x)f(y)

Question. Trouver tout les endomorphismes de corps de R.

Indication. On pourra admettre (ou démontrer) que dans tout intervalle de R non vide et non réduit à un point contient un rationnel.

Bon travail :happy3:

par **Dinozzo13** » 15 Aoû 2010, 16:22

Salut Benekire, ça fasiait longtemps que je ne t'avais pas vu ^^

Si j'ai bien compris, on cherche toutes les fonctions vérifiant pour tout x et y réels les deux conditions suivantes.

Ce sont des équations fonctionnelles non ?

les fonctions f vérifiant

sont les fonctions exponentielles.
les fonctions f vérifiant

sont les fonctions logarithmes.

Est-ce cela ?

par **Zweig** » 15 Aoû 2010, 16:26

Il faut trouver les fonctions qui vérifient les deux conditions en même temps.

par **Dinozzo13** » 15 Aoû 2010, 16:30

Donc des fonctions à la fois exponentielle et logarithme ? ^^

par **benekire2** » 15 Aoû 2010, 16:56

salut :we:

Tu as lu ce que tu voulais lire .. c'est f(x+y)=f(x)+f(y) et f(xy)=f(x)f(y) :zen:

par **Dinozzo13** » 15 Aoû 2010, 17:10

'Y aurait pas du bricolage à faire ?

f(x+y)=f(x)+f(y) et f(xy)=f(x)f(y)
équivaut à
f(x+y)=f(x)+f(y) et f(xy)=f(x+y)f(y)+f²(y)

nam, je m'enfonce là :ptdr:

par **leon1789** » 15 Aoû 2010, 17:16

Une étape : les carrés de R étant les nombres positifs, montrer que f est croissante.

par **benekire2** » 15 Aoû 2010, 17:23

Dinozzo13 a écrit:'Y aurait pas du bricolage à faire ?

f(x+y)=f(x)+f(y) et f(xy)=f(x)f(y)
équivaut à
f(x+y)=f(x)+f(y) et f(xy)=f(x+y)f(y)+f²(y)

nam, je m'enfonce là :ptdr:

Oui Oui ... tu t'enfonce

D'après toi il y en a beaucoup des applications qui vérifient les conditions ??

Leon ->> Voui voui .. c'est dans le sens de mon indic, mais toi tu connais déjà ...

par **Dinozzo13** » 15 Aoû 2010, 17:28

Non, j'pense pas qu'il y en ait beaucoup.

par **benekire2** » 15 Aoû 2010, 17:37

Tu voit juste :id:

Déjà, quelles sont les applications vérifiant f(x+y)=f(x)+f(y) ?

par **benekire2** » 15 Aoû 2010, 17:46

En fait tu doit peut être savoir ou avoir entendu que les seules applications de R dans R vérifiants f(x+y)=f(x)+f(y) sont de la forme x --> ax et quand tu fait passer ça dans la deuxième condition tu as soit a=0 ou a=1 i.e en mettant de côté la fonction nulle la seule solution est l'identité i.e f(x)=x maintenant la preuve que "j'attend" ne passe pas par la démonstration du fait que les seules applications R ->R vérifiant f(x+y)=f(x)+f(y) sont les homotéties ( f(x)=ax) .

Cela dit je te propose un plan rapide :

-> Montre que sur Q , f(x)=x
-> Suit l'indic de Leon puis la mienne dans le premier post et conclu

par **Nightmare** » 16 Aoû 2010, 01:38

benekire2 a écrit:En fait tu doit peut être savoir ou avoir entendu que les seules applications de R dans R vérifiants f(x+y)=f(x)+f(y) sont de la forme x --> ax

Hum, malheureusement, ceci est faux ! Un contre-exemple? :lol3:

par **Alpha** » 16 Aoû 2010, 08:39

Nightmare a écrit:Hum, malheureusement, ceci est faux ! Un contre-exemple? :lol3:

Il me semble en effet qu'il manque l'hypothèse de continuité...

par **benekire2** » 16 Aoû 2010, 09:55

Alpha a écrit:Il me semble en effet qu'il manque l'hypothèse de continuité...

Ah, oui c'est vrai ça ne marche que sous continuité :cry:

, j'avais pas essayé mais je pensais qu'on pouvais s'en sortir par densité. Cela dit, le seul endomorphisme de corps de R reste l'identité ....

par **Nightmare** » 16 Aoû 2010, 12:31

Non la continuité n'est pas nécessaire, c'est par exemple aussi vrai si l'on suppose l'endomorphisme monotone !

J'attends toujours un contre exemple :lol2:

par **lapras** » 16 Aoû 2010, 13:14

On prend une base de R (R est un Q-ev de dim infinie) et c'est fini

par **Nightmare** » 16 Aoû 2010, 13:59

Ce n'est pas "fini" mais je ne doute pas que tu sais comment créer le contre-exemple.

Pour revenir à l'énoncé de Bene, je ne comprends pas son indication. A priori, sa preuve nécessiterait la continuité de l'endomorphisme.

par **benekire2** » 16 Aoû 2010, 14:17

Non, pas besoin de la continuité de l'endomorphisme

Je commence par montrer que la restriction sur Q de f est l'identité (classique) puis, on remarque que f(x)=f(racine(x))²>=0 et du coup pour tout h positif f(a+h)=f(a)+f(h)>f(a) i.e f est une applic strictement croissante et si on raisonne par l'absurde , qu'il existe q irrationnel tel que f(q)>q ( ou f(q)<q ) mon indic s'applique et la densité de Q dans R permet de conclure.

par **Alpha** » 16 Aoû 2010, 14:28

Oui mais non benekire, car la densité de Q dans R sert justement à passer à la limite... et utiliser la continuité de f pour dire que ca marche bien sur R. Sauf erreur de ma part.

par **lapras** » 16 Aoû 2010, 14:30

Nightmare > Une fois que j'ai déterminé f sur ma base (qui peut être d'ailleurs bien moche, indénombrable...), je ne vois pas pourquoi ça n'est pas fini ?

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