Endomorphisme, base, sous espace vectoriel

[Haki]

Bonjour, pouvez-vous m'aider avec cet exercice?


Soit E =

On pose



1) Montrer que E est un sous espace vectoriel de l'ensemble des fonctions de R dans R de base


Je ne sais pas comment partir... Faut-il prouvé que 0 appartient à E (je ne vois pas comment...) puis la stabilité pour + et . ?



2) Si , on pose où f' désigne la dérivée de f.
Montrer que \phi définit un endomorphisme de E et ecrire la matrice A de \phi dans la base B.


J'ai calculé la dérivée de f et je l'ai exprimé en fonction de mais je ne sais pas comment montrer que c'est un endomorphisme.


3) Montrer que est bijective et calculer la matrice de dans la base B
En déduire une primitive de


Je pense qu'il faut montrer que A est inversible d'abord.


4)a) On peut vérifier que avec




et
Calculer et en déduire l'expression de pour
Je ne sais pas comment faire



4)b) En déduire l'expression de la dérivée d'ordre 4n de




Merci d'avance !

[XENSECP]

et a priori je dirais que la définition même de E indique que f1,f2,f3,f4 est une base de E (décomposition unique de tout élément de E).

Peut être montrer l'unicité en plus.... En vérifiant que c'est une famille libre.

[Haki]

En effet, merci !


Pour la question 3, suffit-il de montrer que A est inversible pour en déduire que est bijective?

[XENSECP]

2) C'est une application linéaire de E dans E donc endomorphisme.

3) Il suffit de montrer que A est inversible en effet. Donc déterminant non nul ou rang = 4...