Droite d'Euler

[Dune12]

Bonjour a tous, je travail actuellement sur un exercice de Maths sur lequel je rencontre quelques difficultés.

Énoncé :


Soit ABC un triangle quelconque.
Soit A', B' et C' les milieux respectifs des cotés [BC], [AC] et [AB].
On note O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC,
G son centre de gravité et H le point tel que :
OH = OA + OB + OC (ce sont bien des vecteurs)

Le but de cet exercice est de démontré que les points O, G et H sont alignés


1.a. Démontrer que OB + OC = 2OA' (vecteurs)
b. En déduire l'expression du vecteur AH en fonction du vecteur OA'.
c. Que peut-on conclure pour les droites (AH) et (BC) ?
d. Démontrer de même que la droite (BH) est perpendiculaire a la droite (AC).
e. Que représente le point H pour le triangle ABC ?

2.a. Sachant que AG = (2/3)AA' démontrer que
GA + GB + GC = vecteur nul
b. Démontrer que OH = 3OG.
c. Que peut-on en déduire pour les points O, H et G ?



Il n'y a aucune distance, ce sont que des vecteurs.


Mon travail :

1.a. OB + OC = 2OA'

b. AH = 2OA'

--> Donc AH = 2OA'

c. (AH) et (OA') sont colinéaires, (AH) // (OA')
(AH) (BC) car (OA') est la médiatrice de (BC)
Or si 2 droites sont parallèles, et que l'une est perpendiculaire a une autre, alors les deux parallèle droites sont perpendiculaires a celle-ci... Je ne sais plus la phrase exacte, sa date du collège. Mais je pense que c'est compréhensible.
--> Donc (AH) a (BC)


d. ( Meme raisonnement ) BH=2OB

e. H représente l'orthocentre du triangle ABC, c'est a dire le point de concours des 3 hauteurs.


2.a. Je tourne en rond ...

b. ...

c. Les points O, H et G sont donc alignés




Il ne me manque pas grand chose mais j'ai pas encore trouvé la partie 2.
Merci d'avance pour votre aide! :we: :ptdr:

[siger]

bonjour,

1c
AH et OA' sont colineaires
OA' est perpendiculaire aBC , donc AH est perpendiculaire a BC

2c
AG = 2 AA'/3 = (2/3)* (AB+AC)/2
ou 3GA+ AB + AC = 0
3GA + AG + GB + AG + GB = .....

b
OH = OA+OB+OC = 3*OG + GA+GB+GC=.....






;)
´

[Carpate]

Bonjour a tous, je travail actuellement sur un exercice de Maths sur lequel je rencontre quelques difficultés.

Énoncé :


Soit ABC un triangle quelconque.
Soit A', B' et C' les milieux respectifs des cotés [BC], [AC] et [AB].
On note O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC,
G son centre de gravité et H le point tel que :
OH = OA + OB + OC (ce sont bien des vecteurs)

Le but de cet exercice est de démontré que les points O, G et H sont alignés


1.a. Démontrer que OB + OC = 2OA' (vecteurs)
b. En déduire l'expression du vecteur AH en fonction du vecteur OA'.
c. Que peut-on conclure pour les droites (AH) et (BC) ?
d. Démontrer de même que la droite (BH) est perpendiculaire a la droite (AC).
e. Que représente le point H pour le triangle ABC ?

2.a. Sachant que AG = (2/3)AA' démontrer que
GA + GB + GC = vecteur nul
b. Démontrer que OH = 3OG.
c. Que peut-on en déduire pour les points O, H et G ?



Il n'y a aucune distance, ce sont que des vecteurs.


Mon travail :

1.a. OB + OC = 2OA'

b. AH = 2OA'

--> Donc AH = 2OA'

c. (AH) et (OA') sont colinéaires, (AH) // (OA')
(AH) (BC) car (OA') est la médiatrice de (BC)
Or si 2 droites sont parallèles, et que l'une est perpendiculaire a une autre, alors les deux parallèle droites sont perpendiculaires a celle-ci... Je ne sais plus la phrase exacte, sa date du collège. Mais je pense que c'est compréhensible.
--> Donc (AH) a (BC)


d. ( Meme raisonnement ) BH=2OB

e. H représente l'orthocentre du triangle ABC, c'est a dire le point de concours des 3 hauteurs.


2.a. Je tourne en rond ...

b. ...

c. Les points O, H et G sont donc alignés


Il ne me manque pas grand chose mais j'ai pas encore trouvé la partie 2.
Merci d'avance pour votre aide! :we: :ptdr:

Il faut montrer que :
AB+ AC = 2 AA'
Démonstration : AB+ AC = AA'+A'B+AA'+A'C = 2 AA'
montre de même que :
AB+ CB = 2 B'B
BC+AC= 2 C'C
AG =(2/3)AA'=(2/3)(AB+AC)/2 = (AB+AC)/3
de même tu obtiendras :
BG= (AB+CB)/3
CG=(BC+AC)
En additionnant ces 3 relations :
tu obtiendras AG+BG+CG=0
ou : GA+GB+GC= 0

[Dune12]

Merci pour vos réponses!

J'ai trouvé ça, pouvez-vous me les corriger s'il vous plait?

Je vous remercie d'avance! :-)

GA+GB+GC=GA+GA+AB+GA+AC
=3GA+AB+AC
comme AG=2/3AA´ on a 3GA=-2AA´
d´ou GA+GB+GC=-2AA´+AB+AC
or 2 AA´=AA´+AA´=AB+BA+AC+CA´
comme A´ est le milieu de [BC], on a BA´+CA´=0
donc 2AA´=AB+AC et par conséquent GA+GB+GC=0

[siger]

oui

mets la troisieme ligne en premiere position, c'est l'hypothese.

[Dune12]

Merci beaucoup Siger! :-)