La droite d'Euler (DM)

[UnKoala]

Bonjour, je suis en seconde et j'ai l'exercice 59 page 222 de transmath à faire (qui sera noté ) , or j'ai beaucoup de difficultés à le faire, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ? Voici l'énoncé ainsi que la figure :

T est le cercle de centre O circonscrit au triangle ABC. [AD] est un diamètre de T. H est le symétrique de D par rapport au milieu A' de [BC].

1. a) Quelle est la nature du quadrilatère BDCH ?

Ma réponse: Dans le quadrilatère BDCH : (BC) et (HD) qui sont les diagonales ont le même milieu donc BDCH est un parallélogramme. (est-ce la bonne réponse ? si oui, ai-je bien expliqué pourquoi ? svp )

b) Déduisez-en que (BH) est perpendiculaire à (AC) et que (CH) est perpendiculaire à (AB).

Je ne sais pas comment m'y prendre et quoi utiliser pour déduire cela

c) Que représente H pour le triangle ABC ?

H est le centre du cercle circonscrit donc le point d'intersection des médiatrices.

2. La droite (OH) coupe (AA') en G.
a) Démontrez que G est le centre de gravité du triangle ADH.

Le centre de gravité est l'intersection des médianes. Les médianes sont des droites qui joignent un sommet au milieu du côté opposé. Je nomme D' le point qui sépare (AH) en deux parties égaux. Donc (AA'), (DD') et (OH) sont des médianes et elles se coupent en G qui est donc le centre de gravité du triangle ADH.

b) Pourquoi AG = (2/3)*AA' ? Déduisez-en que G est aussi le centre de gravité du triangle ABC.



Merci d'avance de votre aide !

[chombier]

Pour la question b, dis toi bien que tu dois utiliser ce que tu as démontré dans la question a.

Quelles propriétés d'un parallélogramme pourraient t'aider ?

[UnKoala]

Pour la question b, dis toi bien que tu dois utiliser ce que tu as démontré dans la question a.

Quelles propriétés d'un parallélogramme pourraient t'aider ?

Je suis désoler je vois pas quelles propriétés utiliser car :
Un parallélogramme a ses côtés opposés 2 à 2 de même longueur. (on a pas les mesures )

Un parallélogramme a pour centre de symétrie l'intersection de ses diagonales.
Un parallélogramme a ses angles opposés 2 à 2 de même mesure.
Un parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leur milieu.
= je vois pas en quoi ça prouverai qu'elles sont perpendiculaires.

[siger]

Bonjour,

Les reponses et les commentaires sont dans le texte

Bonjour, je suis en seconde et j'ai l'exercice 59 page 222 de transmath à faire (qui sera noté ) , or j'ai beaucoup de difficultés à le faire, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ? Voici l'énoncé ainsi que la figure :

T est le cercle de centre O circonscrit au triangle ABC. [AD] est un diamètre de T. H est le symétrique de D par rapport au milieu A' de [BC].

1. a) Quelle est la nature du quadrilatère BDCH ?

Ma réponse: Dans le quadrilatère BDCH : (BC) et (HD) qui sont les diagonales ont le même milieu donc BDCH est un parallélogramme. (est-ce la bonne réponse ? si oui, ai-je bien expliqué pourquoi ? svp ) OK

b) Déduisez-en que (BH) est perpendiculaire à (AC) et que (CH) est perpendiculaire à (AB).

Je ne sais pas comment m'y prendre et quoi utiliser pour déduire cela
BH est parallele a DC et et D et A sont sur le diametre du cercle ,....

c) Que représente H pour le triangle ABC ?

H est le centre du cercle circonscrit donc le point d'intersection des médiatrices.
Faux
H est le point de concours des hauteurs (voir question precedente), d'ou ....

2. La droite (OH) coupe (AA') en G.
a) Démontrez que G est le centre de gravité du triangle ADH.

Le centre de gravité est l'intersection des médianes. Les médianes sont des droites qui joignent un sommet au milieu du côté opposé. Je nomme D' le point qui sépare (AH) en deux parties égaux. Donc (AA'), (DD') et (OH) sont des médianes et elles se coupent en G qui est donc le centre de gravité du triangle ADH.
Il suffit de dire que G est l'intersection de 2 medianes HO et AA'

b) Pourquoi AG = (2/3)*AA' ? Déduisez-en que G est aussi le centre de gravité du triangle ABC.
C'est la defintion du centre de gravite : AG = 2AA'/3
Si AG = 2*AA'/3 dans le trianglez ABC, comme AA' est une mediane, G ....


Merci d'avance de votre aide !

[chombier]

Je suis désoler je vois pas quelles propriétés utiliser car :
Un parallélogramme a ses côtés opposés 2 à 2 de même longueur. (on a pas les mesures )

Un parallélogramme a pour centre de symétrie l'intersection de ses diagonales.
Un parallélogramme a ses angles opposés 2 à 2 de même mesure.
Un parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leur milieu.
= je vois pas en quoi ça prouverai qu'elles sont perpendiculaires.

Il y a d'autres propriétés, certaines se déduisant directement de la définition.

Ça ne prouvera pas directement la perpendicularité, mais ça va t'aider.

[UnKoala]

Il y a d'autres propriétés, certaines se déduisant directement de la définition.

Ça ne prouvera pas directement la perpendicularité, mais ça va t'aider.

La propriété est-ce ça : Si deux droites sont parallèles alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. ?

et Pour (CH) et (BA), j'appelle H' le troisième point de (CH), donc dans le triangle ACB (CH') est la hauteur et Si une droite est une hauteur alors elle est perpendiculaire au côté opposé au sommet dont elle est issue.
Ce qui prouve que (BA) est perpendiculaire à (CH).

[chombier]

[quote="UnKoala"]La propriété est-ce ça : Si deux droites sont parallèles alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. ?
C'est une propriété intéréssante dont tu vas avoir besoin.

Mais ça ne suffit pas pour prouver que (BH) est perpendiculaire à (AC).

Tu n'aurais pas des propriétés de parallélisme, dans les parallélogrammes ? Lis bien la question 2, il est bien marqué "déduisez-en". Tu est fortement invité à utiliser le résultat de la question 1 pour répondre à la question 2.

[UnKoala]

La propriété est-ce ça : Si deux droites sont parallèles alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. ?
C'est une propriété intéréssante dont tu vas avoir besoin.

Mais ça ne suffit pas pour prouver que (BH) est perpendiculaire à (AC).

Tu n'aurais pas des propriétés de parallélisme, dans les parallélogrammes ? Lis bien la question 2, il est bien marqué "déduisez-en". Tu est fortement invité à utiliser le résultat de la question 1 pour répondre à la question 2.

Les angles opposés ont la même mesure.
Les angles consécutifs sont supplémentaires. ?

Mais sinon dans le triangle ABC (BH) est la hauteur issu du sommet B et une hauteur c'est une droite issue d'un sommet et perpendiculaire au côté opposé. et ici le côté opposé au sommet B est AC. Cela peut marcher aussi ? :/

[chombier]

Les angles opposés ont la même mesure.
Les angles consécutifs sont supplémentaires. ?

Mais sinon dans le triangle ABC (BH) est la hauteur issu du sommet B et une hauteur c'est une droite issue d'un sommet et perpendiculaire au côté opposé. et ici le côté opposé au sommet B est AC. Cela peut marcher aussi ? :/

Pour la question 2 :

BHCD est un parallèlogramme, donc (BH) // (CD)
....... donc (DC) est perpendiculaire à (AC)

Or, si deux droites sont parallèles alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

Donc (BH) est perpendiculaire à (AC)

Question : comment démontrer que (DC) est perpendiculaire à (AC) ?

[siger]

Les angles opposés ont la même mesure.
Les angles consécutifs sont supplémentaires. ?

Mais sinon dans le triangle ABC (BH) est la hauteur issu du sommet B et une hauteur c'est une droite issue d'un sommet et perpendiculaire au côté opposé. et ici le côté opposé au sommet B est AC. Cela peut marcher aussi ? :/

Re
En ecrivant que BH est une hauteur tu supposes que H est l'hortocentre, c'est a dire que tu supposes le probleme resolu!

BH est parallele a DC dans le parallelogramme DCH
D et A etant diametralement opposés l'angle DCA est droit et DC est perpendiculaire a AC
Par suite BH parallele a DC est perpendiculaire a AC

[UnKoala]

Re
En ecrivant que BH est une hauteur tu supposes que H est l'hortocentre, c'est a dire que tu supposes le probleme resolu!

BH est parallele a DC dans le parallelogramme DCH
D et A etant diametralement opposés l'angle DCA est droit et DC est perpendiculaire a AC
Par suite BH parallele a DC est perpendiculaire a AC

D'accord, merci