[TleS-spé] divisibilité

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai un petit doute sur le sens de la question posée dans l'exercice suivant
:

Soit b un entier naturel supérieur ou égal à 6, N le nombre qui s'écrit, en
base b, 1540.
Existe-t-il des valeurs de b pour lesquelles N est divisible par b-1 ?

Puis-je simplement dire qu'en prenant b=11, (b-1) | N et donc que la réponse
est "oui, il en existe", ou dois-je trouver toutes les valeurs de b pour
lesquelles (b-1) | N ?
C'est davantage une question de français que d'arithmétique, mais peut-être
ce type d'énoncé est-il standard.
Merci.

--
SV

[Anonyme]

>
> J'ai un petit doute sur le sens de la question posée dans l'exercice
> suivant
> :
>
> Soit b un entier naturel supérieur ou égal à 6, N le nombre qui s'écrit,
> en
> base b, 1540.
> Existe-t-il des valeurs de b pour lesquelles N est divisible par b-1 ?
>
> Puis-je simplement dire qu'en prenant b=11, (b-1) | N et donc que la
> réponse
> est "oui, il en existe", ou dois-je trouver toutes les valeurs de b pour
> lesquelles (b-1) | N ?

Ben non, si b = 11, b-1=10 et rien ne dit que 10 divise le nombre qui
s'écrit EN BASE 11 "1540". Il ne faut pas considérer que ce "1540" est
divisible par 10 sous prétexte que sa repésentation en base b (ici 11) se
termine par 0 !!

En fait, on a N = b^3 + 5b^2 + 4b = b (b^2 + 5b +4)
Puis :
N = b [ (b - 1)^2 + 7(b - 1) + 10]

Pour que b - 1 divise N, et puisque b-1 est premier avec b, il faut que b-1
divise (b - 1)^2 + 7(b - 1) + 10, et donc que b-1 divise 10.

Comme b est supérieur ou égal à 6, la seule solution est b=6 car b-1 vaut
alors 5 qui divise 10.

Vérification :
b = 6
"1540" en base 6 est 420 (en base 10), qui est bien divisible par b-1 (qui
vaut 5).

Et c'est la seule solution.

[Anonyme]

"Patrick Coilland" a écrit dans le message de news:
41c4b430$0$10226$8fcfb975@news.wanadoo.fr...

> Pour que b - 1 divise N, et puisque b-1 est premier avec b, il faut que
b-1
> divise (b - 1)^2 + 7(b - 1) + 10, et donc que b-1 divise 10.
>
> Comme b est supérieur ou égal à 6, la seule solution est b=6 car b-1 vaut
> alors 5 qui divise 10.

b=11 convient aussi.
Dans ce cas, N = 1980 en base dix est bien divisible par b-1 = 10.

Daniel

[Anonyme]

Bonjour,

Patrick Coilland a écrit :[color=green]
>>
>> J'ai un petit doute sur le sens de la question posée dans l'exercice
>> suivant
>> :
>>
>> Soit b un entier naturel supérieur ou égal à 6, N le nombre qui s'écrit, en
>> base b, 1540.
>> Existe-t-il des valeurs de b pour lesquelles N est divisible par b-1 ?
>>
>> Puis-je simplement dire qu'en prenant b=11, (b-1) | N et donc que la
>> réponse
>> est "oui, il en existe", ou dois-je trouver toutes les valeurs de b pour
>> lesquelles (b-1) | N ?
>
> Ben non, si b = 11, b-1=10 et rien ne dit que 10 divise le nombre qui s'écrit
> EN BASE 11 "1540". Il ne faut pas considérer que ce "1540" est divisible par
> 10 sous prétexte que sa repésentation en base b (ici 11) se termine par 0 !![/color]

??? en base b, un nombre qui se termine par 0 est divisible par b

>
> En fait, on a N = b^3 + 5b^2 + 4b = b (b^2 + 5b +4)
> Puis :
> N = b [ (b - 1)^2 + 7(b - 1) + 10]
>
> Pour que b - 1 divise N, et puisque b-1 est premier avec b, il faut que b-1
> divise (b - 1)^2 + 7(b - 1) + 10, et donc que b-1 divise 10.
>
> Comme b est supérieur ou égal à 6, la seule solution est b=6 car b-1 vaut
> alors 5 qui divise 10.
>
> Vérification :
> b = 6
> "1540" en base 6 est 420 (en base 10), qui est bien divisible par b-1 (qui
> vaut 5).
>
> Et c'est la seule solution.

Et 11 comme deja dit.
Sinon en base b un nombre est divisible par b-1 ssi la somme de ses
chiffres
est divisible par b-1. (c'est comme en base 10 avec la "preuve par 9",
et ca se
démontre comme pour la base 10, et généralise le calcul ci-dessus)
donc si 1+5+4+0 = 10(base 10) est multiple de b-1
ce qui donne b-1 = 1,2,5,10 et b = 2,3,6,11 seuls b = 6 et 11
conviennent
à cause du chiffre 5, b>=6.

Autre truc du meme genre : prouver que quelle que soit la base b>=6,
le nombre qui s'écrit 1540 en base b est divisible par b+1

--
philippe
(chephip at free dot fr)

[Anonyme]

"Philippe 92" a écrit dans le message de news:
mn.9a3e7d4c815ea302.22155@free.invalid...
> Bonjour,
>
> Patrick Coilland a écrit :
[color=green]
> > Ben non, si b = 11, b-1=10 et rien ne dit que 10 divise le nombre qui[/color]
s'écrit[color=green]
> > EN BASE 11 "1540". Il ne faut pas considérer que ce "1540" est divisible[/color]
par[color=green]
> > 10 sous prétexte que sa repésentation en base b (ici 11) se termine par[/color]
0 !!
>
> ??? en base b, un nombre qui se termine par 0 est divisible par b

Ce qui ne l'empêche ni ne le force à être divisible par b-1, comme le dit
Patrick.

D'ailleurs, sa démonstration montre (par la factorisation) que la
divisibilité provient du nombre "154" (en base b), et que le 0 n'y change
rien.

Hib.

[Anonyme]

Patrick Coilland a écrit :

> Ben non, si b = 11, b-1=10 et rien ne dit que 10 divise le nombre qui
> s'écrit EN BASE 11 "1540".

1540 en base 11 -> 1980

> Pour que b - 1 divise N, et puisque b-1 est premier avec b, il faut
> que b-1 divise (b - 1)^2 + 7(b - 1) + 10, et donc que b-1 divise 10.
>
> Comme b est supérieur ou égal à 6, la seule solution est b=6 car b-1
> vaut alors 5 qui divise 10.

Non, 10 est également un diviseur de 10. Donc pour que b-1 divise 10, b est
égal à 6 _ou_ à 11.

Pour en revenir à ma question, dois-je démontrer que b est égal à 6 ou 11,
ou puis-je simplement prendre pour exemple l'un des deux ?

--
SV

[Anonyme]

>
> Ben non, si b = 11, b-1=10 et rien ne dit que 10 divise le nombre qui
> s'écrit EN BASE 11 "1540". Il ne faut pas considérer que ce "1540" est
> divisible par 10 sous prétexte que sa repésentation en base b (ici 11) se
> termine par 0 !!


Pardon à tous (c'était une heure tardive).
Bien sûr b=11 fonctionne et "1540" en base 11 est bien divisible par "10" en
base 10.

J'ai simplement réagi en pensant que SV s'était contenté de déduire la
divisibilité du dernier 0.

Pour répondre à la question initiale, vérifier que b=11 marche (en montrant
bien que "1540" en base 11 est 1980 en base 10, est une réponse correcte et
suffisante à la question "existe-t-il b>=6 tel que ... "

On peut aller plus loin en faisant le calcul et en montrrant que b-1 doit
diviser b [ (b - 1)^2 + 7(b - 1) + 10]
et donc que b = 6 ou b = 11.



> "1540" en base 6 est 420 (en base 10), qui est bien divisible par b-1 (qui
> vaut 5).
>
> Et c'est la seule solution.

.... évidemment non, mea culpa : b=6 ET b=11 sont solutions.


Avec mes excuses réveillées pour mes erreurs endormies,

Patrick, au saut du lit