Divisibilité et congruence en termS .......SUITE.....

[Anonyme]

NB: pour trouver l'énoncé de l'exo se reporter a "divisibilité et congruence
en term S"

En effet,
pour la question 1) a j'avais remplacé a par 2q et 2q+1 (q appartenant a N)
Dans le premier cas: (n est pair)
E=9+(2q)²
=9+4q²
E n'est pas egal a 2^n donc n n'est pas pair

2e cas: (n est impair)
E=9+(2q+1)²
=2q²+4q+10
=2(q²+2q+5)=2^1*(2^n-1)
=2^n
E est egal a 2^n donc n est impair

Pour le petit b je ne voit pas commence je peux montrer que l'équation n'a
pas de solution avec des congruences
j'ai commencé qques raisonnements modulo 4 mais je crois qu'il ne mènent nul
part.......
les voici:
9 congru 5 [4]
9+a² congru 5+a² [4]
2^n congru 5+a² [4]
2^n congru 1+a² [4]

et

2 congru -2 [4]
2^n congru (-2)^n [4]

sinon je me suis dit que vu que a est impair
a=2q+1
a =2*(2q)+1
a =4q+1 donc a congru 1 [4]
a² congru 1² [4]
E congru 10 [4] mais je ne sais pas si
c'est juste

Pour le 2) petit a je coince complètement...
pour le 2) petit b (montrer que a est pair) je pense qu'il faut remplacer a
par 3q, 3q+1 et 3q+2
mais je ne voit pas comment en déduire que n est necessairement pair!

Pou le 2) petit c j'ai fait:
9+a²=3^2p
9=3^2p-a²
9=3^2*3^p-a²
9=A^² * 3^p -B² (identité remarquable)
9=(3-a) * 3^p * (3+a)
or p>ou=2 donc 3^p>ou=9
et on sait que a n'est pas egal a 0 et a appartient a N donc a est >ou= 0 et
a est entier donc
l'équation n'a pas de solution
Mais (encore une fois) je ne sais pas si c'est juste!!!!!

pour le 3) je coince complètement....

[Anonyme]

"F.B." a écrit dans le message de news:
41811ee8$0$3568$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> NB: pour trouver l'énoncé de l'exo se reporter a "divisibilité et
> congruence
> en term S"

C'aurait été mieux de le rappeler

>
> En effet,
> pour la question 1) a j'avais remplacé a par 2q et 2q+1 (q appartenant a
> N)
> Dans le premier cas: (n est pair)
> E=9+(2q)²
> =9+4q²
> E n'est pas egal a 2^n donc n n'est pas pair
>

C'est de la parité de a dont on parle pas de celle de n. On demande
seulement de montrer que si a existe, il est impair ... il suffit donc
d'étudier le cas a=2q
Alors effectivement E= 9 + 4 q² ne peut pas être égal à 2^n (n>=4) donc a ne
peut pas être impair.
(il faut qd même le justifier rapidement : 4q² et 2^n sont divisibles par 4
, 9 non)

> 2e cas: (n est impair)
> E=9+(2q+1)²
> =2q²+4q+10
> =2(q²+2q+5)=2^1*(2^n-1)
> =2^n
> E est egal a 2^n donc n est impair
>
> Pour le petit b je ne voit pas commence je peux montrer que l'équation n'a
> pas de solution avec des congruences
> j'ai commencé qques raisonnements modulo 4 mais je crois qu'il ne mènent
> nul
> part.......
> les voici:
> 9 congru 5 [4]
> 9+a² congru 5+a² [4]
> 2^n congru 5+a² [4]
> 2^n congru 1+a² [4]
>
> et
>
> 2 congru -2 [4]
> 2^n congru (-2)^n [4]
>
> sinon je me suis dit que vu que a est impair
> a=2q+1
> a =2*(2q)+1

là, je comprends pas l'enchainement ???

> a =4q+1 donc a congru 1 [4]
> a² congru 1² [4]
> E congru 10 [4] mais je ne sais pas si
> c'est juste
>

la question 1)b : en raisonnant modulo 4, montrer que l'équation en a
"9+a²=2^n" n'a pas de solution

Tu as démontré au point précédent que si a existe il est impair donc s'écrit
2q+1
Donc l'équation s'écrit : 9 + 4q²+4q+1 = 2^n
4q², 4q et 2^n sont divisibles par 4 (cad congrus à 0 modulo 4) et 10 ne
l'est pas donc il n'y a pas de solution ...


> Pour le 2) petit a je coince complètement...

Question 2a) : montrer que si n>ou=3, 3^n est congru a 1 ou 3 modulo 4
simple raisonnement "de proche en proche" (récurrence) :
3² = 9 congru à 1 mod 4

si 3^n est congru à 1 mod 4, il s'écrit 4p+1
donc 3^(n+1)=3^n*3=4*(3p)+3 congru à 3 mod 4

si 3^n est congru à 3 mod 4, il s'écrit 4p+3
donc 3^(n+1)=3^n*3=4*(3p)+9 = 4*(3p+2)+1 congru à 1 mod 4

donc il y a succession de termes congrus à 1 et à 3 mod 4

> pour le 2) petit b (montrer que a est pair) je pense qu'il faut remplacer
> a
> par 3q, 3q+1 et 3q+2

Pourquoi ???

Question 2b : équation 9+a²=3^n
montrer que si a existe, il est pair

Même raisonnement par l'absurde que précédemment :
si a est impair, a=2p+1 d'où 9+a²=9+4p²+4p+1=10+4*(p²+p) donc congru à 2 mod
4
ce doit être égal à 3^n et tu as montré précédemment que 3^n est congru à 1
ou 3 mod 4 donc a ne peut pas être impair ...

> mais je ne voit pas comment en déduire que n est necessairement pair!
>

a est pair donc a=2p donc 9+a²=9+4p² congru à 1 mod 4
on a montré précédemment que 3^n est alternativement congru à 1 (n pair) et
3 (n impair) mod 4 donc nécessairement n est pair

> Pou le 2) petit c j'ai fait:
> 9+a²=3^2p
> 9=3^2p-a²
> 9=3^2*3^p-a²

là c'est faux : attention 3^2 * 3^p = 3^(2+p) en fait 3^2p = (3^2)^p ou
(3^p)^2

> 9=A^² * 3^p -B² (identité remarquable)
> 9=(3-a) * 3^p * (3+a)
> or p>ou=2 donc 3^p>ou=9
> et on sait que a n'est pas egal a 0 et a appartient a N donc a est >ou= 0
> et
> a est entier donc
> l'équation n'a pas de solution
> Mais (encore une fois) je ne sais pas si c'est juste!!!!!
>

donc 9 = (3^p)^2 - a² = (3^p-a)*(3^p+a)
or 9 = 1 * 9 = 9 * 1 = 3 * 3
donc seule possibilité : a=o, p=1 soit n=2 (effectivement 9 + 0 = 3^2) mais
on veut n>=3 donc pas de solution

> pour le 3) je coince complètement....
>
>
équation 9+a²=5^n
-a) en raisonnant modulo 3 montrer que l'équation est impossible si
n est impair

Faudrait peut-être faire un petit effort !

- en faisant à nouveau un raisonnement par récurrence, tu peux montrer que
si n est impair 5^n est congru à 2 mod 3

- a est congru à 0, 1 ou 2 mod 3 cad s'écrit 3p, 3p+1 ou 3p+2. Tu peux alors
montrer que a² (cad tout carré) est congru à 0 ou 1 mod 3.
9 est congru à 0 mod 3 donc ...

3b) on pose n=2p. En s'inspirant de 2.c démontrer qu'il existe un
unique entier naturel a tel que a²+9 soit une puissance de 5.

Maintenant que tu as montré que n est forcément pair, tu peux écrire n=2p et
....

comme dit dans l'énoncé, on fait comme au 2c !

PS : cad = c'est-à-dire

Merci de me dire si tu as tout compris (pour me joindre : double@free.fr)