Divisibilité/arithmetique

[Nekster]

bonjour ^^

Soit x=3n-5 et y=2n-7 tel que n est un entier naturel non nul

montrez que,si un entier naturel non nul "d",divise x et y,alors d divise 11

2)Soit n un entier naturel
quels sont les restes possibles de la division euclidienne de n² par 3

3) Soit x,y et z trois entiers naturels non divisibles par 3.
demontrez que A=x²+y²+z² est divisible par 3

[Al-Kashi]

Salut,
donc si et alors donc .

Pour la suite de l'exercice, on te laisse réfléchir un peu car c'est inutile que c'est nous qui faisons les exos .

[Nekster]

deja merci enormement pour ton aide
pour la 2 eme question pourrais-tu me donner un petit indice ? car la je bloque vraiment

[Nekster]

ah je crois avoir trouver.Il y a 3 possibilités:
Soit N divisible par 3 alors N/3=q ca c'est bon.
Ou N=3q+1 d'ou n²=9q²+6q+1
alors n²=3(3q²+2q)+1 donc r=1

Ou alors N=3q+2
alors n²=9q²+12q+4
d'ou n²=3 ( 3q²+4q+1) +1
d'ou le reste =1

alors le reste est egal a 0 ou 1

[Al-Kashi]

Utilise la méthode de disjonction de cas:
1er cas :
2ème cas:
3ème cas :
Puis conclure.

Sinon, tu peux utiliser un tableau de congruence.

[Nekster]

Euh je crois que tu n'as pas vu ma reponse :p j'ai fais exactement ce que tu viens de me dire ^^
Bon plus qu'un exercice!Pourrais-je avoir un indice pour le 3eme ex (le dernier) :p?

[LjjMaths]

Ta réponse me paraît bonne !

Tu as donc vu (d après la question 2) que si n est un entier naturel non divisibles par 3 alors n^2 congru a 1 mod 3

Donc x^2, y^2 et z^2 sont congrus a 1 modulo 3
Donc x^2+y^2+z^2 est congru a combien mod 3 ?

Cela devrait te permettre de conclure

[Nekster]

je crois avoir trouvé mais pas sur
x=3n+r
y=3n'+r'
z=3k+P

x²+y²+z²= 9n²+9n'²+9k² + 6.(n.r+n'.r+P.r) + r²+r'²+P²

on sait que tous les restes (r;r' et P) ne peuvent etre que 1 ou 2.
Et la on fait toutes les combinaisons possible et a chaque fois on trouvera des multiples de 3.

exp: Soit la somme de r²+r'²+P²=S
Soit les 3 restes =1

S=1

soit les 3 restes =2

S=12

Soit 1 reste =1 et 2 restes =2

S=9

Soit 2 restes =1 et 1 reste= 2

S=6

[Nekster]

oups je viens de voir ton msg.Désolé mais je n'ai pas encore etudier les modulo et les congrus dont tu parles :'( (Je n'habite pas en france je n'ai pas le meme programme que vous probablement ^^)

[Al-Kashi]

Ah! tu n'as pas vu les congruences ...

D'après la question précédente, si n'est pas divisible par alors le reste de est . Donc:


Ainsi, càd que est divisible par

[Nekster]

merci enormement ! (et désolé de t'avoir derangé ^^)

[Al-Kashi]

Je t'en prie,
Bon courage.