Disivibilité et factoriel

[Krys933]

bonsoir à touus,

je suis bloqué à cette question d'un exercice pourriez vous m'indiquer la démonstation que je dois connaitre (ou la méthode de résolution) pour répondre à ceci :

sachant que n et un naturel non nul on note An = 1 x 3 x 5 x ... x (2n-1)

démontrer : An x n! x 2^n = (2n)!


merci d'avance

[abcd22]

Bonjour,
On a n! 2^n = n(n-1)...2 × 1 × 2^n = (2n)×(2(n-1))×...× 4 × 2...

[Krys933]

tu peux détailler ta réponse s'il te plait ^^ parce que la c'est un exemple que l'on a fait en cours donc si tu pouvais me montrer la methode qui te font arriver au resultat souhaiter ca serait coool , que j'arrive à le refaire avec d'autre cas .

merci d'avance

[rene38]

Bonsoir

En l'absence de abcd22,
n! est le produit des n naturels : 1, 2, 3, ..., n-1, n
2^n est le produit des n naturels : 2, 2, 2, ..., 2, 2
donc n! 2^n s'écrit :
[1×2×3×...×(n-1)×n]×[2×2×2×...×2×2]
ou bien
1×2×2×2×3×2×...×(n-1)×2×n×2
soit en regroupant un gras et un rouge :
2×4×6×...×(2n-2)×2n
et donc, en multipliant par An=1×3×5× ... ×(2n-1)
et en alternant les facteurs on obtient

[color=#48d1cc][color=#000000]An n! 2^n = 1[/color]×2×[/color]3×4×5×6×...×(2n-2)×(2n-1)×2n = (2n)!

[Krys933]

Ok merci , beacoup pour ton explication détaillée avec des couleurs etc (cela me permet de comprendre , recopier je m'en fiche notre prof ne regarde jamais si l'on fait nos exo ou pas je veux juste comprendre le max possible pour avoir le plus d'outils possible )

sur cette exo je bloque ensuite à un moment (on commence tout juste l'arithmetique j'ai du mal à m'y mettre , je veux dire par là à raisonner "arithmetique")


on doit deduire de ce que l'on a prouvé (ce que tu m a montré) que Cn = (n+1)(n+2)....(2n-1)2n est div pr 2^n et que pour tout p naturel si Cn est div par 2 ^p on a p inf ou egal à n

pour la premeire partie j'ai supposé une recurrence mais je n'y arrive pas , mais calcul ne m'amene pas à ce que je souhaiterais quand à la secodne partie je ne sais pas démarrer

merci d'avance de ton aide :d

[Krys933]

personne ne peut m'aider la dessuS?

[rene38]

Pas besoin de récurrence :

Cn = (n+1)(n+2)....(2n-1)2n = (2n!)/n! = (An n! 2^n)/n! = An 2^n
Cn = An 2^n d'où la conclusion.

Cn est divisible par 2^p
Cn / 2^p = An 2^n / 2^p est entier
Cn / 2^p = An / 2^(p-n) est entier
Supposons p>n
alors 2^(p-n) est entier et An est multiple de 2^(p-n)
Or An est un produit de naturels impairs
...