Soit f la fonction définie par f(x)=(2x+1)/(x+1) pour x différent de -1, et H sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (O ; I ; J).
1) Trouvez deux réels a et b tels que f(x)=a+((b)/(x+1)) pour tout réel x différent de -1, puis tracez H.
2) a. Etudiez l'intersection de H avec les droites (D) : y=x-2, (D') : y=x+1, (D'') : y=x+4.
b. Vérifiez graphiquement en traçant ces droites sur le même graphique que H.
3) On note pour tout m réel, Dm la droite d'équation y=x+m.
a. Quelles particularités ont toutes les droites Dm entre elles ?
b. Conjecturer graphiquement le nombre de points communs à H et Dm suivant la valeur de m.
c. Montrez que déterminer ces points communs revient à résoudre (E)
x²+(m-1)x+m-1=0. (E)
d. Montrez que le discriminant du trinôme x²+(m-1)x+(m-1) est
=(m-1)(m-5).e. Pour quelles valeurs de m a-t-on
=0 ? 0 ?f. Conclure sur le nombre de points d'intersection de Dm et de H suivant les valeurs de m.
g. Combien existe-t-il de droites du plan passant par A(0 ; 1) n'ayant qu'un point commun avec H (ne pas oublier les cas particuliers) ?