Dérivé d'une exponentielle simple

[Reznov]

Bonjours à touts et à toutes, j'ai un petit problème sur une fonction exponentielle très simple:

J'ai la fonction définie sur R par f(x) = e^x- x

Il faut que j'étudie les variations, donc il faut que je la dérive.
Quand je dérive j'ai e^x - 1

Il n'y a donc aucune solution pour x = 0

Je dois faire mon tableau mais là je bloque, je n'arrive pas à le faire.



Question suivante: démontrer que l'équation f(x) = 2 admets deux solutions approchées à 10^-2


M'enfin, ça je sais faire j'ai pas de problème pour ça


Mais je voudrais bien savoir la bonne dérivé de la fonction et ces variations, je vous remercie d'avance pour votre aide.

[titine]

Bonjours à touts et à toutes, j'ai un petit problème sur une fonction exponentielle très simple:

J'ai la fonction définie sur R par f(x) = e^x- x

Il faut que j'étudie les variations, donc il faut que je la dérive.
Quand je dérive j'ai e^x - 1

Oui

Il n'y a donc aucune solution pour x = 0

Je ne comprends pas ce que tu veux dire

Je dois faire mon tableau mais là je bloque, je n'arrive pas à le faire.

Pour faire le tableau de variations de f on étudie le signe de f'. Pour cela on résout :
e^x - 1 > 0 (c'est à dire positif)
e^x > 1
x > 0
Donc lorsque x>0, c'est à dire sur ]0;+inf[, f'(x) = e^x - 1 est positif, donc f est croissante.
Et sur ]-inf;0[, f'(x) = e^x - 1 est négatif, donc f est décroissante.

[Reznov]

Oui


Je ne comprends pas ce que tu veux dire


Pour faire le tableau de variations de f on étudie le signe de f'. Pour cela on résout :
e^x - 1 > 0 (c'est à dire positif)
e^x > 1
x > 0
Donc lorsque x>0, c'est à dire sur ]0;+inf[, f'(x) = e^x - 1 est positif, donc f est croissante.
Et sur ]-inf;0[, f'(x) = e^x - 1 est négatif, donc f est décroissante.

D'accord merci.
Mais c'est tout, je met que cela dans mon tableau ou il faut que je fasse la regle des signes pour justifier ton résultat ?

[Reznov]

est ce que c'est possible que tu peux faire la courbe sous geogebra ou autre pour voir l allure de cette courbe quand faudra que je trouve les deux solutions quand f(x) = 2
car là je n'est pas d'ordinateur

Merci en tout cas

[titine]

D'accord merci.
Mais c'est tout, je met que cela dans mon tableau ou il faut que je fasse la regle des signes pour justifier ton résultat ?

Je ne comprends pas ce que tu veux dire.
Tu cherches quand est ce que f'(x) est positif
c'est à dire e^x - 1 est positif
c'est à dire e^x - 1 > 0
Pour cela tu résous cette inéquation.
Qu'est ce que tu veux de plus ?

[titine]

est ce que c'est possible que tu peux faire la courbe sous geogebra ou autre pour voir l allure de cette courbe quand faudra que je trouve les deux solutions quand f(x) = 2
car là je n'est pas d'ordinateur

Merci en tout cas

Pour trouver le nombre de solutions de l'équation f(x) = 2 on utilise le théorème des valeurs intermédiaires.
Pour trouver la valeur approchée de la solution on utilise la calculatrice (tableau de valeurs)

[Reznov]

Merci.
Je dois etudier les limites en + l'infini et - l'infini

Pour + l infini, je trouve lim = + l'infini
Et pour - l'infini je trouve lim = 0

je pense avoir faux au moins l'infini

[Reznov]

sinon pour la questtion sur le theoreme des intermediaires, j'ai trouvé
le 1 = - 1,9
et le 2eme = 1,1

est ce bon ?

[titine]

Merci.
Je dois etudier les limites en + l'infini et - l'infini

Pour + l infini, je trouve lim = + l'infini
Et pour - l'infini je trouve lim = 0

je pense avoir faux au moins l'infini

En -inf : e^x tend vers 0 et -x tend vers +inf donc f(x) tend vers +inf

En +inf : e^x tend vers +inf et -x tend vers -inf donc forme indéterminée.
Mais e^x - x = x(e^x/x - 1)
Or la limite en +inf de e^x/x est +inf donc .....(je te laisse finir)

[titine]

sinon pour la questtion sur le theoreme des intermediaires, j'ai trouvé
le 1 = - 1,9
et le 2eme = 1,1

est ce bon ?

<on te demande ded solutions approchées à 10^-2, c'est à dire 2 chiffres après la virgule.

[Reznov]

donc f(x) quand x tend vers + l'infini = + linfini

c'est ca ?

[Reznov]

Non l'énoncé me dit a 10^-1 près
j ai du me tromper en le réecrivant

[Reznov]

Pour la question des limites, je vais te dire tout mon raisonnement:
L'image de 0 est 1

On en déduit que f(x) > 1
donc e^x - x > 1
donc e^x > 1 + x

Or lim quand x tend vers + l'infini (1+x) = + l'infini
Donc en utilisant le theoreme de comparaison, lim e^x quand x tend vers + l'infini = + l'infini

Puis pour lim e^x quand x tend vers - l'infini.
On pose X = - x donc x = - X
Soit lim e^x quand x tend vers - l'infini
= lim e^-X quand X tend vers - l'infini
= lim 1/e^X quand X tend vers - l'infini

Or lim 1 = 1
Et lim e^X = + l'infini

Donc d'après le théorème des quotient, on a lim e^x = 0 quand x tend vers - l'infini

Voilà ce que j'ai fait :(




Le problème, c'est qu'on doit trouver une asymptote horizontale en - l'infini mais y'en a pas :(