Démontrer une équivalence

[Waax22951]

Bonjour,
en lisant quelques post, j'ai voulu démontrer la propriété d'une fonction convergente suivante:, "une fonction est convergente si et seulement si sa dérivée est nulle quand x tend vers "
J'ai réussi à démontrer l'implication "si une fonction est convergente, alors sa dérivée est nulle quand x tend vers ", mais je ne crois pas qu'on puisse affirmer la réciproque avec une telle démonstration.. Comment pourrait-on faire pour démontrer l'équivalence ?
Merci d'avance ! :lol3:

(Je vous met la démonstration pour que vous puissiez voir si, au moins, elle est correcte..)
Soit A et deux réels et I un intervalle tel que .
Soit f une fonction continue et dérivable sur I telle que .
Par définition, on a :

D'où
.
Donc

[elvis77]

.

Attention à ce que vous écrivez, cela n'a pas de sens, c'est une forme indeterminée. J'utiliserai la notation avec les pour essayer de démontrer proprement cette assertion. En revenant à la définition de la limite finie d'une fonction :

[elvis77]

Sauf que j'ai pas fait attention que j'étais dans le forum lycée, cette notion sera vue dans le supérieur. Désolé.
Cordialement.

[paquito]

Il faut faire très attention avec les limites; je te donne un exemple: soit f définie sur ]0; +inf[ par
; il est clair f admet pour limite 0 en +inf (-1=<sin(x²)=<1), mais
et cos(x²) n'ayant pas de limite en +inf, f' n'en a pas non plus! Donc, rajoute l'hypothèse que f' admette une limite en +inf.
Pour ta démonstration, ça sera plus facile de supposer que f' a une limite différente de 0 puis d'intégrer.

[Waax22951]

Sauf que j'ai pas fait attention que j'étais dans le forum lycée, cette notion sera vue dans le supérieur. Désolé.
Cordialement.

Merci tout de même pour l'info, ça peut toujours servir (j'avais déjà vue quelque part cette définition, mais je me demandais comment s'en servir.. Maintenant je sais ! :lol3: )
Je ne comprend pas pourquoi il faut supposer que f' a une limite différente de 0.. N'est-ce-pas contradictoire avec ce que je dois démontrer ? :hein:
Juste une dernière question: je n'ai pas vu les intégrales (enfin je sais en faire une basique, et je sais que ça représente l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses, etc..), et je ne comprend pas l'intérêt d'intégrer quand il s'agit de déterminer une limite.. (J'ai une idée mais ça me paraît faux: est-ce parce que si on trouve que l'intégrale "existe", alors l'aire sous la courbe quand x tend vers est une valeur réelle, donc f admet une limite.. Mais si cette limite est différente de 0, alors ça ne marche pas..)
En tout cas merci pour vos réponses et bonne soirée ! :zen:

[elvis77]

je ne comprend pas l'intérêt d'intégrer quand il s'agit de déterminer une limite..

Qu'entendez-vous par cette phrase ? Avez-vous un exemple ?

[paquito]

Qu'entendez-vous par cette phrase ? Avez-vous un exemple ?

On suppose que f' admet une limite en +inf; on veut montrer que si f admet une limite finie en +inf, alors f' a pour limite 0; 3 cas sont possibles pour f':

(1)la limite vaut 0;
(2)la limite vaut l>0 (on peut toujours se ramener à ce cas en considérant -f éventuellement);
(3)la limite est +inf.

Le principe de la démonstration consiste à éliminer les cas (2) et (3) et il ne restera plus que (1);

Cas (2): pour tout >0, il existe A>0 tel que si x>A, f'(x)>l-;
on peut prendre =l/2 et donc pour x>A, f'(x)>l/2; d'où , donc f(x)-f(A)> (x-A), soit f(x)> (x-A)+f(A) et comme (x-A)+f(A) a pour limite +inf (A est une constante) f(x) a aussi pour limite +inf et donc le cas (2) est exclus.

On trouve encore plus facilement que f->+inf dans le cas (3) et donc la seule possibilité d'avoir une limite finie pour f est le cas (1)

[Waax22951]

Je comprends mieux ! Merci !
Juste une question, comment arrive-t-on à f'(x)>l- ?
Car si je fais f'(x)-l-( +l)..
D'où vient mon erreur..?

Si j'ai bien compris, on pourrait démontrer le cas (3) comme ça:

Si , alors , .
On a alors:




Or (f(a) constante et )
Donc , or f converge vers l, donc le résultat est absurde.

C'est ça ? :hein:

[Robic]

Est-ce que la réciproque est vraie ? Le logarithme n'est pas convergent en plus l'infini, pourtant sa dérivée tend vers zéro.

[Waax22951]

Est-ce que la réciproque est vraie ? Le logarithme n'est pas convergent en plus l'infini, pourtant sa dérivée tend vers zéro.

En effet, je n'y avais pas pensé.. Merci ! :lol3:

[paquito]

En fait, on a l- l- qui m'intéresse.
Sinon, ta démonstration montre que tu as tout compris. une telle démonstration s'appelle une démonstration par disjonction des cas. Tu as aussi démontré que si f'(x) admettait une limite l>0 ou +inf, alors f(x) admettait pour limite +inf.

[Waax22951]

D'accord, merci beaucoup pour votre aide ! :lol3:

En fait, on a l- <f'(x)<l+

Cela vient-il du fait qu'à partir f'un certain x, toutes les valeurs de f'(x) appartiennent à un intervalle centré sur l ? Car si oui, je viens de comprendre pas mal de trucs.. :we:

[paquito]

D'accord, merci beaucoup pour votre aide ! :lol3:



Cela vient-il du fait qu'à partir f'un certain x, toutes les valeurs de f'(x) appartiennent à un intervalle centré sur l ? Car si oui, je viens de comprendre pas mal de trucs.. :we:

je crois que tu as bien compris!

[Waax22951]

D'accord, merci encore à tous pour ces explications et bonne continuation ! :lol3: