DéfiLycée [10]

par **mathelot** » 17 Juil 2008, 18:06

Bonjour,

Celui qui résoud un défi (!) en pose un autre:

voilà deux petites choses classiques à démontrer:

entiers de Mersenne:

démontrer que

est premier ssi n est premier

(c'est faux)

entiers de Fermat:

démontrer que

est premier seulement si n est une puissance de 2

(réciproque fausse

est composé).

par **Flodelarab** » 17 Juil 2008, 18:08

Je me permets de t'interrompre car si ton "ssi" et une abréviation de "si et seulement si", ton énoncé est faux.

2047 = 2^11-1 = 23 x 89 est un nombre de Mersenne, mais non premier.

par **mathelot** » 17 Juil 2008, 18:10

autant pour moi :hum:

est premier seulement si n est premier.

par **Flodelarab** » 17 Juil 2008, 18:16

Mais je réponds volontiers à ta question:

Si n est composé, Mn est composé.

Démonstration

Soit n= ab, avec a>1 et b>1.

Mn = 2^n - 1 = 2^ab - 1 = (2^a)^b - 1 = (2^a - 1) . [(2^a)^(b-1) + (2^a)^(b-2) + . . . + (2^a)^2 + 2^a + 1].

Comme (2^a - 1) et [(2^a)^(b-1) + (2^a)^(b-2) + . . . + (2^a)^2 + 2^a + 1] sont supérieurs à 1,
Mn est composé.

par **raito123** » 17 Juil 2008, 19:27

Entier de Fermat :

Soit n un entier composé donc s'écrit sous forme unique de

avec

Si k est différent de 0 alors

!! avec D un entier différent de l'unité donc F_n n'est pas premier !!!!

Par contraposé : F_n est premier seulement et seulement si n est une puissance de 2!!

Edit : Désolé c'était pas la bonne forme hier

par **Flodelarab** » 17 Juil 2008, 19:57

application numérique de Raito:

donc p=0 et k=1

... non vraiment, je ne comprends pas.

par **mathelot** » 17 Juil 2008, 23:26

re,

voilà une piste:

soit

.

si

n'est pas une puissance de 2,

s'écrit

avec

.

1 s'écrit

Il ne reste plus qu'à factoriser N...

N est-il premier ?

par **Zweig** » 17 Juil 2008, 23:32

Pour Mersenne :

, b impair

Alors

=> le nombre n'est pas premier puisque chaque facteur est > 1. D'où b = 1

par **mathelot** » 17 Juil 2008, 23:39

raito123 a écrit:Entier de Fermat :

Ecrire les noms de famille (noms propres versus noms communs) avec une majuscule.

raito123 a écrit:Donc !! avec k un entier différent de l'unité donc F_n n'est pas premier !!!!

Il y a une erreur d'étage :zen:

par **raito123** » 18 Juil 2008, 12:26

Je crois que maintenant c'est bon !!

par **Flodelarab** » 18 Juil 2008, 16:02

Zweig, c'est pas Mersenne, c'est Fermat.

Raito123, Qu'est ce qui me prouve que ton D entier existe ? Et qu'il est différent de 1 ?
Tu es en train de nous faire un "Je suppose l'exercice résolu" ...

par **Zweig** » 18 Juil 2008, 16:11

Oui Fermat :mur:

par **raito123** » 18 Juil 2008, 16:22

Non pas du tout c'est une factorisation evidente !!

Enfin ce n'était qu'une ébauche , je vois que Zweig a donné la démonstration compléte !!

par **rene38** » 18 Juil 2008, 16:46

Salut

Flodelarab a écrit:Qu'est ce qui me prouve que ton D?entier existe ?

Un espace ou pas ?

OK, je sors ...

par **miikou** » 21 Juil 2008, 01:20

défis relevé ou pas ?

par **_-Gaara-_** » 21 Juil 2008, 07:29

miikou a écrit:défis relevé ou pas ?

C'est à mathelot d'en décider,

je rappelle que le défi lycée n°9 A ETE LAMENTABLEMENT NON-REUSSI ! :marteau:

par **raito123** » 22 Juil 2008, 13:34

Alors rien de nouveau !??

par **_-Gaara-_** » 27 Juil 2008, 13:16

Rain' a écrit:ah bon ?

pourtant ce que j'ai fait me semble juste et avec rien qu'on ne peut pas comprendre au lycée.

J'ai parlé trop vite !!

à toi donc de poster un problème :++:

par **mathelot** » 28 Juil 2008, 15:31

_-Gaara-_ a écrit:C'est à mathelot d'en décider,

je rappelle que le défi lycée n°9 A ETE LAMENTABLEMENT NON-REUSSI ! :marteau:

Les réponses de Zweig et Flodelarab sont correctes. Passez donc au défi suivant.

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