Cosinus du produit de pi par un rationnel

[Waax22951]

Bonjour,
En m'ennuyant pendant cette première journée de cours, je suis venu à me poser une question: est-ce que le cosinus du produit de pi par un nombre rationnel est-il nécessairement algébrique ?
D'après mon raisonnement, la réponse est oui, mais je garde tout de même quelques doutes.. Je la pose donc sur ce forum de façon à être fixé.. :lol3:
Merci d'avance et bonne continuation ! :lol3:

[Wataru]

Salut,

Je ne te donne pas la réponse, je te laisse réfléchir par toi même :zen:

Quelques pistes de réflexion quand même :
- La fonction cosinus est une fonction continue
- Elle prend des valeurs entre -1 et 1 (compris)
- Est-ce que les nombres algébriques sont inclus dans l'ensemble des nombres réels ? Même question pour les nombres transcendants.

Si tu regardes ces trois points et les relies par un peu de logique, tu devrais avoir une réponse.
Bonne chance ^^

[Waax22951]

Salut,

Je ne te donne pas la réponse, je te laisse réfléchir par toi même :zen:

Quelques pistes de réflexion quand même :
- La fonction cosinus est une fonction continue
- Elle prend des valeurs entre -1 et 1 (compris)
- Est-ce que les nombres algébriques sont inclus dans l'ensemble des nombres réels ? Même question pour les nombres transcendants.

Si tu regardes ces trois points et les relies par un peu de logique, tu devrais avoir une réponse.
Bonne chance ^^

Ce qui me dérange, c'est que la fonction (où r est un rationnel) n'est pas continue sur (puisqu'elle n'est pas définie sur ).. Donc même si les nombres algébriques et les nombres transcendants sont inclus dans , il est peut être possible que les images par cette fonction soient toutes algébriques..! :hein:

[zygomatique]

Ce qui me dérange, c'est que la fonction (où r est un rationnel) n'est pas continue sur (puisqu'elle n'est pas définie sur ).. Donc même si les nombres algébriques et les nombres transcendants sont inclus dans , il est peut être possible que les images par cette fonction soient toutes algébriques..! :hein:

un peu de sérieux !!!!

les fonctions x --> rx et x --> cos(x) sont continues sur R donc leur composée aussi ...

[Skullkid]

Bonsoir, je ne comprends pas en quoi le post de Wataru permet de répondre à la question. Je suggérerais plutôt de regarder du côté des polynômes de Tchebychev et du fait que le corps des algébriques est algébriquement clos. Pour un raisonnement compréhensible niveau lycée (ou "lycée plus") il te faudra admettre cette seconde propriété. Pour ce qui est des polynômes de Tchebychev tu devrais pouvoir démontrer tout ce dont tu as besoin, mais c'est quand même assez costaud.

Peux-tu nous exposer le raisonnement dont tu parles dans ton premier post ?

[chan79]

Bonjour,
En m'ennuyant pendant cette première journée de cours, je suis venu à me poser une question: est-ce que le cosinus du produit de pi par un nombre rationnel est-il nécessairement algébrique ?
D'après mon raisonnement, la réponse est oui, mais je garde tout de même quelques doutes.. Je la pose donc sur ce forum de façon à être fixé.. :lol3:
Merci d'avance et bonne continuation ! :lol3:

A partir de la n ième diagonale du triangle de Pascal, on peut obtenir un polynôme dont les racines sont 4 cos²(k*pi/n) (k variant de 1 au degré du polynôme)
Exemple

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

4 cos²(pi/7) est l'une des solutions de x³-5x²+6x-1 et est donc algébrique et cos(pi/7) aussi

[Waax22951]

un peu de sérieux !!!!

les fonctions x --> rx et x --> cos(x) sont continues sur R donc leur composée aussi ...

En effet, je me suis trompé dans l'énoncé, la bonne fonction serait plutôt:



Cependant, je n'ai fait que traduire la question sous la forme d'une fonction, donc je ne pense pas qu'elle porte à confusion si on a lu le premier post..

Bonsoir, je ne comprends pas en quoi le post de Wataru permet de répondre à la question. Je suggérerais plutôt de regarder du côté des polynômes de Tchebychev et du fait que le corps des algébriques est algébriquement clos. Pour un raisonnement compréhensible niveau lycée (ou "lycée plus") il te faudra admettre cette seconde propriété. Pour ce qui est des polynômes de Tchebychev tu devrais pouvoir démontrer tout ce dont tu as besoin, mais c'est quand même assez costaud.

Peux-tu nous exposer le raisonnement dont tu parles dans ton premier post ?

Je n'utilise aucune formule qui sorte du programme de terminale (2010-2011). Mon résultat me semble simple à trouver, et pourtant je ne trouve pas de résultats semblables sur le net, ce qui me laisse penser qu'il est faux..

Je le met ci dessous:

[CENTER]___________________________________[/CENTER]

Par soucie d'écriture en Latex, j'écrirai la partie décimale de x.
Remarque préliminaire: Soit f, une fonction de N dans lui-même et n un entier strictement positif. On pose:

Démontrons que

Pour cela, décomposons cette somme en deux somme: une dont la variable discrète est paire et l'autre dont la variable est impaire. Cela revient donc à calculer tous les entiers positifs k et k' tels que et . On en déduit que et .

Considérons le cas où n est pair, il existe donc un entier n' tel que .
D'où et . k' étant entier, on en déduit que .
Donc lorsque n est pair.

Considérons maintenant le cas où n est impair, il existe alors un entier n' tel que , d'où et . Puisque k est entier, on en déduit que . On a donc:


On observe alors que si n est pair, et

De même, si n est impair, et . On observe alors que pour tout n, on a et .

La formule (1) est donc démontrée.



Soit s, un nombre complexe de module 1 et d'argument . On a donc, d'après la formule de Moivre, pour tout entier naturel non nul n, . D'où:

n étant un entier positif, on peut appliquer la formule du binôme de Newton, on a donc:


D'après la remarque préliminaire, on peut décomposer la série de droite de la façon suivante:










On en déduit finalement que pour tout entier naturel non nul n et pour tout réel qui n'est pas de la forme (où k est un entier), on a






Puisque ces deux fonctions sont continues pour tout réel , on en déduit que et que .
Pour pouvoir définir cette formule pour tout réel , y compris ceux du type où k est un entier, on l'écrit de la façon suivante:







Cette formule marche pour les formules de duplication de lycée (c'est la cas où n=2), mais j'aimerais être sûr qu'il ne se glisse pas une erreur de raisonnement..!
C'est comme ça que j'ai voulu chercher une propriété qui puisse montrer qu'elle est fausse.
C'est ainsi que j'en ai déduit ça. Voilà comment j'ai raisonné:



Reprenons la formule de duplication du cosinus en remplaçant par , où n est un entier strictement positif. On a alors:



En posant , on obtient l'équation suivante:


D'où:


Puisque et que , on en déduit que . Puisque tous les exposants sont des nombres entiers positifs, on en déduit que l'équation ci-dessus est une équation polynomiale. De même, puisque toute puissance de est entière et puisque tous les coefficients binomiaux sont des entiers positifs, alors tous les coefficients de l'équation sont des entiers relatifs.
Donc est solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers relatifs et est donc algébrique.

Posons maintenant . On sait que cette fonction est un polynôme à coefficients entiers relatifs. Donc toute image par d'un nombre transcendant est aussi transcendante. Par contraposée, toute image d'un nombre algébrique est algébrique.
Donc, pour tout entier m, on sait que est algébrique puisque cos(\frac{\pi}{m}) l'est. Or, on a . Or tout nombre rationnel r est de la forme . On en déduit que pour tout nombre rationnel, est algébrique.

A partir de la n ième diagonale du triangle de Pascal, on peut obtenir un polynôme dont les racines sont 4 cos²(k*pi/n) (k variant de 1 au degré du polynôme)
Exemple

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

4 cos²(pi/7) est l'une des solutions de x³-5x²+6x-1

Je ne connaissais pas cette propriété du triangle de Pascal ! :ptdr:
Tu connaîtrais une démonstration de cette propriété s'il te plaît ?

[Skullkid]

En fait ce que tu as fait c'est les polynômes de Tchebychev sans les nommer ^^

D'ailleurs je me suis trompé dans mon post précédent, pas besoin de savoir que les algébriques forment un corps clos, mais sauf erreur on a besoin de savoir qu'ils forment un corps, en particulier que la somme et le produit d'algébriques sont algébriques. Y a juste une erreur dans ton raisonnement : sachant que Pn envoie les transcendants dans les transcendants, tu ne peux pas déduire directement que Pn envoie les algébriques dans les algébriques. La contraposée de "Pn envoie les transcendants dans les transcendants" (que tu n'as pas démontrée :p) c'est "si Pn(x) est algébrique alors x est algébrique".

[paquito]

Salut Waax,

Tu devrais t'intéresser aux polynômes de Tchebichef.
le résultat le plus simple est le suivant:

Pour tout entier n il existe un un polynôme de degré n et à coefficient entiers tels que ,

, ...

En utilisant , tu vas pouvoir établir la relation

, relation qui justifiera l'existence de et pourra te permettre d'établir quelques propiétés.

Quand a ta démonstration, elle va être grande ment simplifiée!