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par **ayoub_96** » 24 Nov 2012, 12:33

Soit f une application de R à R tel que :

f injective
f(x).f(1-x)=f(ax+b) (x, a et b des réels)

1/ montrer que a=0
2/ montrer que f(1-b)=1
3/ montrer que f n'est pas surjective

Voilà ce que j'ai pu faire:

1/ f(1)f(0)=f(a+b)
f(0)f(1)=f(b)

donc f(a+b)=f(b)

f injective implique a+b=b ainsi a=0

2/ (faux...mais bon c'est un début)

f(b)f(1-b)= f(ab+b)
a=0
f(b)f(1-b)=f(b)
f(1-b)=1 :hein:

par **Manny06** » 24 Nov 2012, 16:29

ayoub_96 a écrit:Soit f une application de R à R tel que :

f injective
f(x).f(1-x)=f(ax+b) (x, a et b des réels)

1/ montrer que a=0
2/ montrer que f(1-b)=1
3/ montrer que f n'est pas surjective

Voilà ce que j'ai pu faire:

1/ f(1)f(0)=f(a+b)
f(0)f(1)=f(b)

donc f(a+b)=f(b)

f injective implique a+b=b ainsi a=0

2/ (faux...mais bon c'est un début)

f(b)f(1-b)= f(ab+b)
a=0
f(b)f(1-b)=f(b)
f(1-b)=1 :hein:

3/ (faux...mais bon c'est un début)

f(b+1)f(1-b-1)=f(b+1)
f(-b)=1
et f(1-b) = 1
puisque 1-b est différent de -b alors f n'est pas surjective :hum:

attention
f(b)f(1-b)=f(b) a 2 solutions
soit f(b)=0
soit f(1-b)=1
il faut montrer que f(b)=0 est impossible

par **ayoub_96** » 24 Nov 2012, 16:53

Oui je sais ... c'est là où ca coince :(

par **chan79** » 24 Nov 2012, 17:13

ayoub_96 a écrit:Oui je sais ... c'est là où ca coince

Supposons f(b)=0
on aurait pour tout x (puisque a=0)
f(x)*f(1-x)= f(b)=0
par exemple f(7)*f(-6)=0
f ne pourrait pas être injective puisque soit f(7) soit f(-6) serait égal à f(b)

par **ayoub_96** » 24 Nov 2012, 19:16

super ..... merci chan79 pour ta réponse :)
Maintenant il reste à demontrer le 3 ...

par **chan79** » 24 Nov 2012, 19:32

ayoub_96 a écrit:super ..... merci chan79 pour ta réponse
Maintenant il reste à demontrer le 3 ...

s'il existait un x tel que f(x)=0, on aurait:
f(x)*f(1-x)=0 donc f(b)=0 impossible
f n'est pas surjective

par **ayoub_96** » 24 Nov 2012, 19:33

non mais attendez Mr Chan ... en reliant la derniere ligne j'ai po bien compris où tu veux en venir parce que: f(7)=0 "ou" f(-6)=0 non pas f(7)=0 "et" f(-6)=0
car si c'était le cas on dirait -6=7 (f injective) CONTRADICTION
mais on ne peut le dire tant qu'on a le OU

par **chan79** » 24 Nov 2012, 19:37

ayoub_96 a écrit:non mais attendez Mr Chan ... en reliant la derniere ligne j'ai po bien compris où tu veux en venir parce que: f(7)=0 "ou" f(-6)=0 non pas f(7)=0 "et" f(-6)=0
car si c'était le cas on dirait -6=7 (f injective) CONTRADICTION
mais on ne peut le dire tant qu'on a le OU

je reprends
f(7)*f(-6)=0 donc f(7)=0 OU f(-6)=0
maintenant avec x=9
f(9)*f(-8)=0 donc ....

par **ayoub_96** » 24 Nov 2012, 20:25

chan79 a écrit:je reprends
f(7)*f(-6)=0 donc f(7)=0 OU f(-6)=0
maintenant avec x=9
f(9)*f(-8)=0 donc ....

J'ai vraiment pas compris .... laisse tomber :triste:

par **chan79** » 24 Nov 2012, 20:30

ayoub_96 a écrit:J'ai vraiment pas compris .... laisse tomber :triste:

f(7)=0 ou f(-6)=0 supposons que f(7)=0

f(8)=0 ou f(-7)=0 supposons que f(8)=0

donc f(7)=f(8) impossible
même chose dans les autres cas
ton exo est plus que bizarre, quand même

par **Manny06** » 25 Nov 2012, 10:00

chan79 a écrit:f(7)=0 ou f(-6)=0 supposons que f(7)=0

f(8)=0 ou f(-7)=0 supposons que f(8)=0

donc f(7)=f(8) impossible
même chose dans les autres cas
ton exo est plus que bizarre, quand même

pour la dernière question
montre que f(b)#0 cequi entraine que pour tout x f(x)#0 et donc que la valeur 0 n'est pas atteinte par f

par **ayoub_96** » 25 Nov 2012, 12:57

oui oui.......c'une bonne idée...il reste à démontrer que f(b)#0 !
Au fait, MERCI Manny06 pour ta réponse !

par **Manny06** » 25 Nov 2012, 13:43

ayoub_96 a écrit:oui oui.......c'une bonne idée...il reste à démontrer que f(b)#0 !
Au fait, MERCI Manny06 pour ta réponse !

on suppose que f(b)=0
prenons x#b donc f(x)#0 qu'en deduis-tu pour f(1-x) ?

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