Dm biorythme trigonométrie

[matngri2003]

Bonsoir à tous, j'ai un dm à rendre pour ce vendredi sur un exercice à propos du biorythme mais je suis vraiment bloqué j'ai tout essayé : mise en équation, fonction...
Impossible de le résoudre, j'aurais donc besoin de votre aide pour m'aiguiller...
Voici l'énoncé : Dans la théorie des biorythmes, chaque individu possède trois potentiels qui évoluent cycliquement: physique, émotionnel et intellectuel. Chaque potentiel d'une personne est mesuré, en pourcentage, à l'instant t, en jour, depuis sa naissance, à l'aide d'une fonction N définie par: N(t) = 50 sin(wt) +50 où w est un nombre réel positif propre au potentiel. a) Déterminer w puis l'écriture de la fonction potentiel physique sachant que le potentiel physique a pour période 23 jours. b) Déterminer w puis l'écriture de la fonction potentiel émotionnel sachant que le potentiel émotionnel a pour période 28 jours. c) Déterminer w puis l'écriture de la fonction potentiel intellectuel sachant que le potentiel intellectuel a pour période 33 jours. d) Un individu peut-il avoir simultanément ses trois potentiels à 100% ? ( Il est alors au summum de sa forme)

[Noemi]

Bonsoir matngri2003,

Si la période est de 23 jours, N(t+23) = N(t), tu en déduis w.

[matngri2003]

Merci de ta réponse mais comment tu sais que N(t) = N(t+23) ?
Et pour déduire w je dois faire une équation ?
Mais je ne sais pas comment annuler le sinus poir trouver w

[Noemi]

La relation correspond à la définition mathématique de la période.
pour la résolution de l'égalité : sin a = sin b
les solutions sont :
a = b + 2kpi
et
a = pi - b + 2kpi

[matngri2003]

Vraiment désolé mais je ne comprends pas du tout ce que tu essaies de me faire entendre

[Noemi]

En mathématiques si une fonction f est périodique de période T, alors
f(t+T) = f(t)
d'ou
pour une période de 23 jours,
N(t+23) = N(t),
Comme N(t) = 50 sin(wt) + 50
N(t+23) = 50sin(w(t+23)) + 50
Résoudre N(t+23) = N(t) revient à résoudre :
sin(w(t+23)) = sin(wt)
tu appliques le cours :
sin a = sin b donne a = b + 2kpi ou a = pi - b + 2kpi
avec a = b + 2kpi,
wt+23w = wt + 2kpi
23w = 2kpi, pour k = 1, cela donne 23w = 2pi, soit w = 2pi/23

[matngri2003]

Très bien merci beaucoup je crois avoir compris je m'y mettrais ce soir

[matngri2003]

J'ai une dernière question : comment passes tu de :
sin (wt+23w)=sin(wt+2pi) pour arriver à : wt+23w=wt+2pi

[Noemi]

C'est du cours

sin(a) = sin(b) a pour solutions :
a = b + 2kpi et a = pi - b + 2kpi, k est un entier relatif

donc pour sin(wt + 23w) = sin(wt)
tu écris
wt + 23w = wt + 2kpi
pour k = 0, tu obtiens 23w = 0, solution à écarter
pour k = 1, tu obtiens 23w = 2pi, qui donne w = 2pi/23

[matngri2003]

Ok merci à tous j'ai pu reussir tout l'exercice grâce à votre precieuse aide sauf la dernière question pour les 3 cycles simultanément à 100%

[Noemi]

Pour la dernière question, il faut résoudre pour chaque potentiel :
50 sin(2pit/23) + 50 = 50,
soit 2pit/23 = pi/2 + 2kpi
t = 23/4 + 23k

Tu obtiens trois expressions de t selon le potentiel et tu montres qu'il n'existe pas de valeurs de k qui permettent d'avoir les trois potentiels à 100.

[matngri2003]

Tu as mis = 50 mais tu es sur que c'est pas plutôt =100

[Noemi]

Exact c'est une erreur;
il faut lire 50 sin(2pit/23) + 50 = 100

[matngri2003]

Peut on écrire que sin(wt+23pi)=sin(wt+2pi) équivaut à
wt+23pi= wt+2pi

[matngri2003]

Pour la dernière question, j'ai calculé la valeur de t pour chaque potentiel et j'ai trouvé t= (92kpi+23)/4 fonction physique
t= (112kpi+28)/4 fonction émotionnel
t= (132kpi+33)/4 fonction intellectuel
Avec k appartenant à N
Mais pourriez vous m'aidez car je ne vois pas ce que je peux en faire pour répondre à la dernière question

[Noemi]

Tu dois obtenir :
t1 = 23/4 + 23 k1
t2 = 28/4 + 28 k2 = 7 + 28k2
t3 = 33/4 + 33 k3
avec k1, k2 et k3 des entiers relatifs,

Vu que 23/4 et 33/4 ne sont pas des entiers, il est impossible que t1 soit égal à t2 et à t3.