Arithmétique et nombres premiers

[gol_di_grosso]

Bonjour,

1) Pour tout p premier et a entier naturel, montrez que ssi ou
j'ai essayé de resoudre une systeme mais je n'y arrive pas.

Tu peux le faire en deux étapes, d'abord montrer que si alors on a ou , ici c'est assez simple,
par définission, il existe un entier tel que plus Bezout tu en déduit que ....
Il reste à montrer que si ou alors
- suppose que donc
- suppose que , donc

Pour la 2) p est premier donc premier avec a (par hypothèse) Bezout => il existe v tel que av=1[p] si v plus grand que p alors tu fais la division euclidienne de v par p
puis élimine les cas v=1 et v=p-1

[Zweig]

Salut,

Pour le 1)

On va montrer l'implication directe : ou , la réciproque étant évidente.

. Ainsi l'un des deux facteurs est congru à , d'où les deux résultats obtenus, en remarquant pour le deuxième que

[gol_di_grosso]

2) Pour , montrez qu'il existe un entier naturel tq : et
pour cette question je pense qu'il faut utiliser le théoreme de Bezout mais je ne vois pas l'astuce.

Un début de solution pourrait être :
p est premier donc premier avec a (par hypothèse sur a) donc il existe u,v tq av+pu=1.
Si v est plus grand que p-1 ou négatif, alors par division euclidienne tu peux écrire v=kp+j avec j unique tel que 0<j<p donc a(kp+j)+pu=1 c'est à dire aj +p(u+ka)=1 donc aj =1 mod p. Il reste à éliminer les cas j=p-1 et j=1