Arithmétique difficile

par **J-R** » 07 Oct 2007, 18:28

bonsoir,

autrement dit la somme de 2 des carrés consécutifs n'est jamais un cube parfait....

je n'ai trouvé aucune piste. :triste:

merci

a+

par **J-R** » 07 Oct 2007, 18:44

bien sur que ca m'intéresse

ca pourra me donner une piste de réflexion :)

par **J-R** » 07 Oct 2007, 18:55

j'avais pas pensé à la parité

mais ca à l'air de pas marcher dans l'autre sens

merci

je cherche encore.....

par **lapras** » 07 Oct 2007, 18:57

salut J-R !
Développe et trouve :
m² + (m+1)² = 2m(2m+1) + 1
impair quelque soit m
Donc si p existe il est necessairent impaire.
donc on pose :
p = 2k+1
(2k+1)^3 = 8k^3 + 12k² + 3k + 1 = k(8k²+12k+3) + 1
deux cas :
k impaire :
k = 2k' + 1
J'essaye de trouver une absurdité...

EDIT :
Si k impaire, alors
2m(2m+1) = (2k'+1)(2*(15k'²+28k') + 23)
ce qui est impaire
or 2m(2m+1) paire : k ne peut pas etre impaire

reste a prouver que k ne peut etre paire.

par **J-R** » 07 Oct 2007, 19:07

salut lapras:

pourquoi ce dévellopment de (2k+1)^3 ?

que sont u et v ?

merci d'avoir chercher ....

par **lapras** » 07 Oct 2007, 19:09

pardon, j'ai mis des u au lieu des k'
On a prouvé que si m²+(m+1)² était un cube, alors p était impaire
j'ai donc eu le reflexe de l'acrire 2k+1 et de développer au cube pour chercher une absurdité.
Apres l'absurdité ne vient pas directement, il faut décomposer a nouveau avec les parités :
On pose k impaire : c'est impossible
si on prouve que k paire impossible, alors on aura prouvé qu'un tel p n'existe pas

par **J-R** » 07 Oct 2007, 19:15

oui d'accord pour le raisonnment mais (2k+1)^3=8k^3+12k^2+6k+1

je regarde ce que je peux faire avec ca ....

merci

par **lapras** » 07 Oct 2007, 19:26

je viens de montrer que m ne peut etre impaire
donc m paire
je suis sur le point de trouver, je sens le truc venir

par **aviateurpilot** » 07 Oct 2007, 20:07

essaye de montrer que

ne peux pas etre un carré parfait.
si tu montre ca alors

ou bien on utilisant le fait que

est stricte croissante sur

essaye de montrer que

ou

donc

resumé:
tt revien a montrer que

ne peux pas etre un carré parfait.

par **lapras** » 07 Oct 2007, 21:53

Bonsoir !
Merci pour ton aide aviateurpilote !
Je n'aurais pas pensé à p^3 = f((sqrt(2p²-1) - 1)/2))
Sinon, pour montrer que 2p^3 - 1 n'est pas un carré parfait, sans utiliser ta fonction, comment on fait ?

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