Arithmétique bézout

[Bimbooo]

Bonjour,
Pourquoi si q et 10 sont premiers entre eux, il existe k vérifiant : ?
Il faut sûrement utiliser le théorème de bézout, et après.. ? Merci d'avance

[nodjim]

L'une des formes du petit théorème de Fermat:
Pour tout entier a non multiple de p, il existe k>0 tel que a^k=1 modulo p.

[Bimbooo]

Oui mais si p est premier non ?

[Bimbooo]

Je viens de voir que c'est comme ça qu'on peut définir l'ordre d'un élément. Mais on peut se passer du théorème de fermat (d'ailleurs je n'y arrive pas en l'utilisant) :
Avec le principe des chaussettes: soit premier avec .
Les chaussettes sont : les restes de la division de (pour k entier) par , et comme ces restes sont compris dans , on a les tiroirs.
Il va donc exister et , ,vérifiant
Après avec Bézout, il existe tel que donc .
Alors
Donc si on pose , on a bien

[nodjim]

Aussi.
Soit A={10;20,...10(q-1)} et B={1,2,...q-1}
On définit une relation entre A et B: b=R(a/q) reste de la division de a par q.
Il suffit de montrer que c'est une bijection.