Arctangent

[etto]

bonjour , j'ai besoin d'aide
1- montrer que 2*Arctan(1/2) + Arccos(4/5) =pi/2
2-soit la fonction f(x)=Arcsin((1/racine(2)) * ((1-x)/(racine(1+x^2)))
Montrer que :
f(x)=pi/4 -Arctanx ; x>=1
f(x)=3pi/4 +Arctanx ; x<1

[Chimerade]

bonjour , j'ai besoin d'aide
1- montrer que 2*Arctan(1/2) + Arccos(4/5) =pi/2
2-soit la fonction f(x)=Arcsin((1/racine(2)) * ((1-x)/(racine(1+x^2)))
Montrer que :
f(x)=pi/4 -Arctanx ; x>=1
f(x)=3pi/4 +Arctanx ; x<1

Pour le 1 : calcule cos(2*Arctan(1/2) + Arccos(4/5)) ! Si tu trouves 0 c'est tout bon ! Mais évidemment, ça demande un minimum de bonne volonté !

Même chose pour le 2. Je ne l'ai pas fait, mais je ne vois a priori pas d'autre façon que d'essayer de calculer certaines fonctions trigonométriques de f(x) ! Essaie un peu, tu verras bien !
Il faut connaître tes relations trigonométriques évidemment !

[etto]

Merci beaucoup Chimerade
pour 1 j'ai trouvé la solution ;mais pour 2 je suis vraiment coincé

[Nicolas_75]

2-
On doit pouvoir y arriver par application des formules trigonométriques, mais je n'ai pas encore réussi à finaliser la démonstration.
Procédons donc par dérivation.

Soit

est définie et dérivable sur

donc est croissante sur puis décroissante sur
Or :



Donc est à valeurs dans

Donc est définie sur

est dérivable sur tout intervalle ouvert où ne prend pas la valeur 1.
Donc

Sur chacun de ces intervalles :


Donc, pour ,


En prenant la limite en , il vient -

Finalement :


Sauf erreur.

Nicolas

[Galt]

Une méthode un peu différente :
Comme on me parle d'arctangentes, je vais poser , soit avec
Je sais que donc, compte tenu de , j'ai . Je n'ai plus qu'à remarquer que

[Chimerade]

2-soit la fonction f(x)=Arcsin((1/racine(2)) * ((1-x)/(racine(1+x^2)))
Montrer que :
f(x)=pi/4 -Arctanx ; x>=1
f(x)=3pi/4 +Arctanx ; x<1

Pose donc
Et calcule et est-ce que cela te dit quelque chose quand tu regardes la formule donnée ?

P.S. Oooops ! Je n'avais pas vu que Nicolas 75 et Galt m'avaient précédé !