Un anneau

[Dacu]

Bonjour à tous,

Un problème dans un autre forum:
Sur l'ensemble x , les opérations suivantes sont définies:

.
Déterminer les diviseurs de zéro , sachant que est l'anneau.

Cordialement,

Dacu

[Ben314]

Salut,
Ton , c'est bien évidement qui est non seulement intègre, mais c'est même un corps vu que .

Donc avec tes notations sous forme de couple, il suffit de voir que, si alors (car ) puis de constater que, qui est le neutre de la loi multiplicative.
Ce qui prouve que est inversible donc n'est sûrement pas un diviseur de zéro.

Et le résultat perdure si on remplace le de par n'importe quel rationnel qui n'est pas le carré d'un rationnel (par exemple n'importe quel rationnel <0 ou bien 3 ou 5/2 ou 7/4, mais pas 4 ni 16/9)

[pascal16]

la méthode 100% calculatoire marche aussi, mais que de sous-cas !

(a,b).(x,y)=(0.0)
<=> ax+2by=0 et ay+bx=0
cas 1, y non nul, on a a=-bx/y
on remplace, on tombe sur des sous cas
b=0 => a=0, donc pas un diviseur de 0.
x²=y² => on a deux systèmes qui aboutissent à (a,b)=(0,0) et l'autre (a,b)=(0,0)
cas 2 y=0
de nouveau des sous cas où soit x=0, soit (a,b)=(0,0)
finalement, un produit de facteur est nul si au moins l'un des facteur est nul.

il n'y a pas eu besoin de trouver un inverse, donc V2 non rationnel n'a pas servi

la même chose démontré à l'aide d'une matrice va bien plus vite.

[Ben314]

il n'y a pas eu besoin de trouver un inverse, donc V2 non rationnel n'a pas servi.

Hummmmm....
Tout ce que j'en déduit, ben c'est que tu t'es gouré quelque part dans le raisonnement vu que c'est indispensable pour conclure.

[pascal16]

x²=y² => on a deux systèmes qui aboutissent à (a,b)=(0,0) et l'autre (a,b)=(0,0)

est en fait 2y²-x²=0 (équivalent à b²-2a²=0) et en effet pour conclure il faut bien l’irrationalité de V2

[Dacu]

Bonjour,

Merci beaucoup à vous deux , mais qui sont donc les diviseurs de zéro?

cordialement,

Dacu

[pascal16]

il n'y en a pas

(a,b).(x,y)=0 <=> (a,b)=(0,0) ou (x,y)=(0,0)