0.9999999999999... = 1 ?

[jojoperrin]

Bonsoir tout le monde,

Aujourd'hui j'ai eu un devoir de mathématiques avec cet exercice :

Démontrer que 0.9999999999... = 1

Voici la démonstration possible :

0.9999999999.../3 = 0.3333333333...
0.3333333333... = 1/3
1/3 * 3 = 1

Donc 0.9999999999... = 1

Mais cela me parait tout de même ambigüe car on peut rajouter des 9 à l'infini donc on se raprochera de plus en plus de 1 mais sans jamais l'atteindre !

J'en suis venu à me poser cette question :

Est-ce que 1/3 est vraiment égal à 0.3333333333... ?
Car 1/3 est un nombre réel donc peut-on vraiment l'écrire sous cette forme ?

[Alpha]

Bonsoir,

Le "problème" ne vient pas de 0,333333... mais de 0,999999... .

0,9999... est en effet le développement décimal impropre de 1.

Pour te convaincre que 0,99999... est bien égal à 1, peux-tu construire un nombre réel qui soit compris entre 0,9999... et 1? Il est clair qu'on ne peut pas. C'est donc bien que 0,9999... = 1.

En fait, on peut montrer que tout nombre réel x compris entre 0 et 1 peut s'écrire comme somme de la série suivante :



où :

- b est la base dans laquelle on écrit le nombre, b=10 habituellement
- les sont strictement inférieurs à b
- les ne sont pas stationnaires à b-1

Et on peut montrer que cette écriture, qu'on appelle développement décimal propre de x, est unique pour un x donné.

En revanche, si on enlève une des conditions, comme la non sationnarité à b-1, il peut y avoir plusieurs écritures possibles. C'est le cas pour 1 : si on autorise la non sationnarité, on peut aussi l'écrire 0,99999..., qui est un nombre dans lequel la suite des est stationnaire à 9 = 10-1 = b-1.

[Timothé Lefebvre]

Salut,

un grand classique déjà évoqué mille fois ici !

Etudie la convergence de .

Si on appelle cette suite géométrique alors 0,9999..... revient à .

La limite de la suite, en plus l'infini, vaut 1, mais l'égalité est fausse.

[Timothé Lefebvre]

Aujourd'hui j'ai eu un devoir de mathématiques avec cet exercice :

Démontrer que 0.9999999999... = 1

Je suis un rebelle et j'ai horreur de ces affirmations.
A ta place j'écris ce que j'ai dit ci-dessus.

Mais j'écris aussi la "vrai" fausse démonstration.
A savoir :

Posons x=0,9 (la partie soulignée se répète à l'infini).

Multiplions 10x=9,9

Puis 9x=9,9-0,9=9

9x=9

x=1

D'où 1=0,9

Faux bien entendu puisqu'on ne peut pas multiplier par un nombre comme 0,9 ...

[Alpha]

Je suis un rebelle et j'ai horreur de ces affirmations.
A ta place j'écris ce que j'ai dit ci-dessus.

Mais j'écris aussi la "vrai" fausse démonstration.
A savoir :

Posons x=0,9 (la partie soulignée se répète à l'infini).

Multiplions 10x=9,9

Puis 9x=9,9-0,9=9

9x=9

x=1

D'où 1=0,9

Faux bien entendu puisqu'on ne peut pas multiplier par un nombre comme 0,9 ...

Visiblement tu ne t'es même pas donné la peine de lire ou de comprendre ce que j'ai écrit plus haut.

Il est tout à fait correct d'écrire que 1 = 0,9999..., c'est une question de convention, puisque 0,9999... est une écriture qui ne représente pas autre chose que le nombre 1.

[Timothé Lefebvre]

Dans mon esprit il était plus rigoureux de parler de limite ...

[Alpha]

C'est une question de notation. Que peut représenter l'écriture "0,9999..." si ce n'est la somme pour n allant de 1 à l'infini de 9/10^n? C'est-à-dire 1?

L'écriture 0,9999... contient déjà la notion de limite.

[Alpha]

D'où 1=0,9

Faux bien entendu puisqu'on ne peut pas multiplier par un nombre comme 0,9 ...

D'où tu sors ça??? T'as appris quelque chose comme "on ne peut pas multiplier par un nombre comme 0,9999..."? C'est une nouvelle règle? T'as peut-être fait prépa et t'es même déjà à l'ENS? Ah non t'es en première? Pardon.

Au passage, du moment où on parle de nombre réel, c'est qu'on peut le multiplier par n'importe quel autre nombre réel.

0,9999... désigne le nombre "somme de 9/10^n pour n allant de 1 à + l'infini", et on peut multiplier ce nombre par tout ce qu'on veut, comme pour n'importe quel nombre réel.

Alors s'il te plaît, 1) lis les réponses des autres avant de poster, 2) avant de les contredire impunément, prend un minimum de gants ou interroge-les, plutôt que d'affirmer abruptement "faux" alors que les quelques années d'étude en moins que tu as devraient t'amener à plus de modestie.