1ère S - Suites - Exercices de DM

[L3e]

Bonjour,

Je suis en classe de première S, et j'ai un DM de math à rendre en fin de semaine. Je n'arrive pas à avancer dans un exercice. Il porte sur les suites.
Je vous donne l'énoncé :

L'uranium 234 est un corps radioactif qui se désintègre en thorium 230, en émettant des particules a. Le taux d'atomes d'uranium 234 désintégrés en thorium 230 est de 0.0276% par siècle. On appelle demie vie d'un corps radioactif le temps nécessaire à la désintégration de la moitié de ses atomes.

a ) Justifiez que la demie-vie de l'uranium 234 revient à déterminer l'entier naturel n à ^partir duquel 0.999724^n < 0.5. Utilisez la calculatrice ou le tableur pour résoudre ce problème;

b)Le thorium 230 est lui-même instable et se désintègre en radium 226. Sa demie vie est de 76 000 ans. A l'aide de la calculatrice, déterminez le taux d'atomes de thorium 230 désintégrés par siècle.

c) Que devient le thorium 230 après 152 000 ans ?

Voilà. Je ne comprend pas comment on peut résoudre ce problème sans connaitre U0.

J'ai quand même essayé la première question en proposant Uo=x.

J'ai prouvé qu'elle était géométrique de raison q=0.999724 car :

Uo = x et Un+1= Un-(0.276/100)Un

Ainsi Un+1 = Un (1- (0.0276/100)) = 0.999724Un

Je ne sais pas si c'est utile mais j'ai cherché à trouver Un.
Un=Uo+q^n
Un = x + 0.999724^n
Donc, j'ai compris que 0.999724 dans l'énoncé représente la raison. Mais je ne sais pas quoi en faire ensuite et je ne comprend pas pourquoi la demie vie correspond à résoudre 0.999724^n<0.5. :mur:

Quelqu'un pourrait-il m'aider ? :help:
Merci d'avance !

[st00pid_n00b]

Ainsi Un+1 = Un (1- (0.0276/100)) = 0.999724Un

Jusqu'ici tout va bien. Mais le terme général d'une suite géométrique est Un = Uo*q^n

Quant à la demi vie, c'est le temps nécessaire pour que la moitié des atomes se désintègrent, donc s'il y en a Uo au départ, on cherche n (le temps en siècles) tel qu'il en reste Uo/2. Ça te donne une équation dont les Uo se simplifient (et effectivement la demi vie ne dépend pas du nombre d'atomes de départ.)

[L3e]

J'ai résolue Uo/2 > Uo x q^n
0.999724^n > (Uo/2)/Uo
0.999724^n > 1/2
Ainsi j'ai trouvé n>2512 siècles.

Pour la question b, vu qu'il s'agit de 76000 ans et donc de 760 siècles de demie vie, je pense qu'il faut résoudre x^760=0.5 pour avoir le nombre d'atomes qui disparaissent par siècle mais je ne me rappelle pas avoir appris à résoudre ce genre d’équation. Je ne sais pas me débarrasser de la puissance ^760..
Merci beaucoup pour l'aide !

[st00pid_n00b]

Ok pour la question a, sauf qu'il faut changer le sens des inégalités
0.999724^n < 1/2 à partir de n = 2512

Question b: ok aussi pour l'équation. On te dit de déterminer la solution à la calculatrice, tu ne peux pas te débarrasser de la puissance. (Tu apprendras l'an prochain à résoudre ce genre d'équation sans tâtonner.)

[L3e]

Ok, je vais essayer de terminer l'exercice comme ça, merci !

[st00pid_n00b]

Ok, je vais essayer de terminer l'exercice comme ça, merci !

Sinon, pour vérifier il suffit de taper: x = 0.5^(1/760)