Entropie créee par conduction

[Anonyme]

Voici mon exercice, et mon essai de solution qui m'a pas l'air bon.

On considère une barre homogène rectiligne, longueur L, section S,
conductivité thermique Lambda, extremités calorifugés T1=300K et T2=400K.
Tout est bien calorifugé.

1) Determiner T(x) en regime permanent

La ca pose pas trop de pb, T(x) = (T2-T1)/L*x+T1

2) Determiner l'expression de l'entropie créee pour un élément de barre
situé entre x et x+dx pendant dt.

Bon la j'écris "D" pour signifier "petit Delta".

Donc on a DScrée = dS - DSéchangée.

Et je pensais qu'on pouvais supposer dS = 0, mais pas sur, en supposant la
capacité calorifique de la barre nulle ?

DSechange = jth*S*dt/T(x+dx) - jth*S*dt/T(x) // ?? pas sur non plus
= jth*S*dt* (T(x) - T(x+dx))/(T(x)*T(x+dx))

La j'ai fais un truc moyennement catholique: T(x)*T(x+dx) ~= T(x)^2 ...

Et on a T(x)-T(x+dx) = -dT = -(T2-T1)/L*dx
et jth = -Lambda*dT/dx = -Lambda*grad(T) avec grad(T)=(T2-T1)/L

Ce qui donne au final:

DSechange = Lambda*S*grad(T)^2 / T(x)^2 * dt * dx


Ce qui me semble bien faux car ca a l'air positif, et DScrée ne peut pas
etre négatif.

Quelqu'un peut il me donner un indice ?

Merci.


GV

[Anonyme]

"G.Vidal" a écrit :

>Voici mon exercice, et mon essai de solution qui m'a pas l'air bon.
>
>On considère une barre homogène rectiligne, longueur L, section S,
>conductivité thermique Lambda, extremités calorifugés T1=300K et T2=400K.
>Tout est bien calorifugé.
>
>1) Determiner T(x) en regime permanent
>
>La ca pose pas trop de pb, T(x) = (T2-T1)/L*x+T1


ok
on va poser : k = dT/dx = (T2-T1)/L

>
>2) Determiner l'expression de l'entropie créee pour un élément de barre
>situé entre x et x+dx pendant dt.
>
>Bon la j'écris "D" pour signifier "petit Delta".
>
>Donc on a DScrée = dS - DSéchangée.
>
>Et je pensais qu'on pouvais supposer dS = 0, mais pas sur, en supposant la
>capacité calorifique de la barre nulle ?

je crois que tu peux considérer tout simplement que l'état de
l'élément de barre ne change pas donc son entropie non plus.

ensuite on a :

--> ->
jth = -lambda * k ux

->
avec ux vecteur unitaire
->
sur la tranche en x, la normale est -ux
->
sur la tranche en x+dx, la normale est ux

DSechange = - dflux_jth(x)/T(x) - dflux_jth(x+dx)/T(x+dx)
= - lambda*k*S*dt/T(x) + lambda*k*S*dt/T(x+dx)
= lambda*k*S*dt( 1/T(x+dx) - 1/T(x) )
= - lambda*k*S*dt(T(x+dx)- T(x))/(T(x+dx)T(x))

>La j'ai fais un truc moyennement catholique: T(x)*T(x+dx) ~= T(x)^2 ...

en supposant que la température varie lentement suivant x (k0.

>Merci.

de rien (si c'est juste )

--
Manane
> ------- J-5

[Anonyme]

G.Vidal wrote:
> Voici mon exercice, et mon essai de solution qui m'a pas l'air bon.
>
> On considère une barre homogène rectiligne, longueur L, section S,
> conductivité thermique Lambda, extremités calorifugés T1=300K et T2=400K.
> Tout est bien calorifugé.
>
> 1) Determiner T(x) en regime permanent
>

OK
> La ca pose pas trop de pb, T(x) = (T2-T1)/L*x+T1

>
> 2) Determiner l'expression de l'entropie créee pour un élément de barre
> situé entre x et x+dx pendant dt.
>
> Bon la j'écris "D" pour signifier "petit Delta".
>
> Donc on a DScrée = dS - DSéchangée.
>
> Et je pensais qu'on pouvais supposer dS = 0, mais pas sur, en supposant la
> capacité calorifique de la barre nulle ?
On a bien dS=0, mais c'est parce que comme tu es en régime stationnaire
ton système n'évolue pas (même si il est le siège de transfert d'énergie
!). Donc dS=0 (tout comme on dit dU=0 pour l'établissement de l'équation
de la chaleur)
>
> DSechange = jth*S*dt/T(x+dx) - jth*S*dt/T(x) // ?? pas sur non plus
> = jth*S*dt* (T(x) - T(x+dx))/(T(x)*T(x+dx))
Il y a sans doute une erreur de signe. La tranche reçoit à l'abscisse x
le transfert thermique jth(x)*S*dt et en x+dx -jth(x+dx)*S*dt, soit
plus précisément
DSechange = -jth(x+dx)*S*dt/T(x+dx) + jth(x)*S*dt/T(x)
>
> La j'ai fais un truc moyennement catholique: T(x)*T(x+dx) ~= T(x)^2 ...
>
> Et on a T(x)-T(x+dx) = -dT = -(T2-T1)/L*dx
> et jth = -Lambda*dT/dx = -Lambda*grad(T) avec grad(T)=(T2-T1)/L
>
Si on pose f(x)=jth(x)*T(x), on voit que l'expression précédente donne
DSechange = -S*dt*(f(x+dx)-f(x)), d'où
DSechange = -S*dt*(df/dx)*dx=lambda*S*dt*dx*d/dx(1/T*dT/dx)
Ou encore
DSechange = lambda*S*dt*dx*(-1/T^2*(dT/dx)^2+1/T*d^2T/dx^2)
Mais en régime stationnaire d^2T/dx^2=0, soit
DScréée=-DSechange = lambda*S*dt*dx*1/T^2*(dT/dx)^2

lambda*grad(T)^2/T^2 est le taux volumique de création d'entropie dans
la barre (une bien belle relation en vérité. Effectivement positive
conformément au second principe et qui ne s'annule ici que s'il n'y a
pas de gradient de température, i.e. si la barre est en équilibre
thermodyamique)

> Ce qui donne au final:
>
> DSechange = Lambda*S*grad(T)^2 / T(x)^2 * dt * dx
>
>
> Ce qui me semble bien faux car ca a l'air positif, et DScrée ne peut pas
> etre négatif.
>
> Quelqu'un peut il me donner un indice ?
Juste une faute de signe dans le bilan d'entropie échangée
>
> Merci.
De rien !
>
>
> GV
>
>
>

[Anonyme]

Le Thu, 07 Apr 2005 20:46:48 +0200, Manane a écrit :
->
> sur la tranche en x, la normale est -ux
> ->
> sur la tranche en x+dx, la normale est ux

Oh lala... Tout a fait !
Il faut toujours revenir a la definition précise, merci.

Moi qui pensais mériter le prix nobel pour avoir réussi a faire dimunuer
l'entropie d'un systeme... raté !

[Anonyme]

[color=green]
>> DSechange = jth*S*dt/T(x+dx) - jth*S*dt/T(x) // ?? pas sur non plus
>> = jth*S*dt* (T(x) - T(x+dx))/(T(x)*T(x+dx))
> Il y a sans doute une erreur de signe. La tranche reçoit à l'abscisse x
> le transfert thermique jth(x)*S*dt et en x+dx -jth(x+dx)*S*dt, soit
> plus précisément
> DSechange = -jth(x+dx)*S*dt/T(x+dx) + jth(x)*S*dt/T(x)[/color]

J'ai quand même un peu de mal a saisir ces histoires de signes, en
particulier ce qui est algébrique et ce qui ne l'est pas.

Vous pouriez éclaircir un peu ? le Delta(Q) du numérateur, est-ce une
différence de valeur positive, ou une somme de valeur algébrique,
biensur ça doit être un peu la meme chose mais c'est pas très clair
dans ma tête.

merci !

[Anonyme]

Le Thu, 07 Apr 2005 23:47:01 +0200, TULOUP Marc a écrit :

> Si on pose f(x)=jth(x)*T(x), on voit que l'expression précédente donne
> DSechange = -S*dt*(f(x+dx)-f(x)), d'où

En fait ca c'est faux. Il faudrait je pense écrire
1/T(x) - 1/T(x+dx) = d(-1/T(x)) = 1/T(x)^2 dx.

Tout simplement. Et on tombe sur la bonne réponse.

G.Vidal