Une simple hypothèse

[Anonyme]

Bonsoir à toutes et à tous,

J'ai une petite question à poser, en forme d'hypothèse :

(une hypothèse peu probable sans doute, mais c'est surtout pour essayer de comprendre
l'essence des théories mathématiques) :

Imaginons - par exemple à propos de la géométrie euclidienne - qu'un jour, au terme d'un
raisonnement rigoureux, on aboutisse à une contradiction (du genre "les deux droites
parallèles se coupent"). Est-ce que ça signifie qu'il faudrait se résoudre à abandonner la
combinaison des 5 postulats d'Euclide ?

Si la réponse est "oui", est-ce que cela veut dire que même en mathématiques, on n'est
jamais sûr à 100% des fondements sur lesquels une théorie est édifiée (même si ce sont des
axiomes) ?

A moins qu'on ne me dise que mon hypothèse est impossible. Mais dans ce cas-là, il me
vient une autre question : Comment est-on sûr, comment Euclide lui-même pouvait-il être
sûr, il y a 2000 ans, que ses postulats ne provoqueraient jamais de contradiction ?

Merci beaucoup de bien vouloir me répondre.

Gibbs.

[Anonyme]

Gibbs a écrit :
> Bonsoir à toutes et à tous,
>
> J'ai une petite question à poser, en forme d'hypothèse :
>
> (une hypothèse peu probable sans doute, mais c'est surtout pour essayer de comprendre
> l'essence des théories mathématiques) :
>
> Imaginons - par exemple à propos de la géométrie euclidienne - qu'un jour, au terme d'un
> raisonnement rigoureux, on aboutisse à une contradiction (du genre "les deux droites
> parallèles se coupent"). Est-ce que ça signifie qu'il faudrait se résoudre à abandonner la
> combinaison des 5 postulats d'Euclide ?

Hilbert a montré la consistance (l'absence de contradiction) de la
géométrie euclidienne.

[Anonyme]

On Fri, 10 Jun 2005 19:58:59 +0200, "Gibbs"
wrote:

>Imaginons - par exemple à propos de la géométrie euclidienne - qu'un jour, au terme d'un
>raisonnement rigoureux, on aboutisse à une contradiction (du genre "les deux droites
>parallèles se coupent"). Est-ce que ça signifie qu'il faudrait se résoudre à abandonner la
>combinaison des 5 postulats d'Euclide ?

Oui. Si, partant des axiomes A1, A2, ..., An, on construit un édifice
mathématique et qu'un jour, on obtient une contradiction, ce n'est pas
grave, on aura alors prouvé le théorème :
A1, A2 ... A(n-1) => non (An).
Il faudra évidemment reprendre les énoncés s'appuyant sur ces axiomes
pour faire le ménage.

>Si la réponse est "oui", est-ce que cela veut dire que même en mathématiques, on n'est
>jamais sûr à 100% des fondements sur lesquels une théorie est édifiée (même si ce sont des
>axiomes) ?

"Les mathématiques sont une science
dans laquelle on ne sait jamais de quoi on parle,
et où l'on ne sait jamais si ce que l'on dit est vrai."
Bertrand Russel

La première partie de phrase fait allusion aux notions primitives (ex
: ensemble, appartenance) qui ne sont pas définies, mais régies par
des axiomes, la deuxième partie fait allusion aux axiomes eux-mêmes.

>A moins qu'on ne me dise que mon hypothèse est impossible. Mais dans ce cas-là, il me
>vient une autre question : Comment est-on sûr, comment Euclide lui-même pouvait-il être
>sûr, il y a 2000 ans, que ses postulats ne provoqueraient jamais de contradiction ?

Il n'en savait rien. Et le mot postulat qu'il utilisait lui-même
laissait entendre que le statut de ce postulat était en suspens
jusqu'à une éventuelle validation ou réfutation ultérieure.

[Anonyme]

Dans l'article ,
YBM a écrit:

> ....
> Hilbert a montré la consistance (l'absence de contradiction) de la
> géométrie euclidienne.


Sa démonstration suppose que le système R des nombres réels est
consistant, ce qui suppose que le système N des nombres naturels est
consistant. Personne n'a démontré cette supposition fondamentale.

Ken Pledger.

[Anonyme]

"Gerard Lavau" a écrit dans le message news:
tn5la118qoh4v3fcndb7f9dq77r27odeha@4ax.com...[color=green]
>> On Fri, 10 Jun 2005 19:58:59 +0200, "Gibbs"
>> wrote:[/color]
[color=green]
>>Imaginons - par exemple à propos de la géométrie euclidienne - qu'un jour, au terme[/color]
d'un[color=green]
>>raisonnement rigoureux, on aboutisse à une contradiction (du genre "les deux droites
>>parallèles se coupent"). Est-ce que ça signifie qu'il faudrait se résoudre à abandonner[/color]
la[color=green]
>>combinaison des 5 postulats d'Euclide ?[/color]

>Oui. Si, partant des axiomes A1, A2, ..., An, on construit un édifice
>mathématique et qu'un jour, on obtient une contradiction, ce n'est pas
>grave, on aura alors prouvé le théorème :
>A1, A2 ... A(n-1) => non (An).
>Il faudra évidemment reprendre les énoncés s'appuyant sur ces axiomes
>pour faire le ménage.

Je ne suis pas sûr de bien comprendre. Est-ce que ça signifie que, parmi les axiomes {A1,
A2, ..., A(n-1), An}, on va devoir chercher la combinaison d'axiomes qui provoque la
contradiction pour :
- en quelque sorte, "montrer du doigt" cette combinaison d'axiomes (et l'interdire à
l'avenir, tout en étant capable de justifier cette interdiction),
- puis éliminer tous les théorèmes qui ont cette combinaison d'axiomes comme fondement.
?

Si oui, je crois que je vais devoir revoir mon regard sur les mathématiques car,
jusqu'ici, j'imaginais que tout ce qui découlait des axiomes était "inattaquable" ; et les
axiomes aussi, d'ailleurs.


> "Les mathématiques sont une science
> dans laquelle on ne sait jamais de quoi on parle,
> et où l'on ne sait jamais si ce que l'on dit est vrai."
> Bertrand Russel
>
> La première partie de phrase fait allusion aux notions primitives (ex
> : ensemble, appartenance) qui ne sont pas définies, mais régies par
> des axiomes, la deuxième partie fait allusion aux axiomes eux-mêmes.

Je suppose que dans la phrase de Russel, "vrai" veut dire "conforme à la réalité", parce
que si par "vrai" on entend - comme c'est souvent le cas en mathématiques - "qui est un
axiome ou qui découle logiquement d'un axiome ou d'une combinaison d'axiomes", alors je ne
comprends pas.

Encore merci.

Gibbs.

[Anonyme]

Dans l'article ,
"Gibbs" a écrit:

> "Gerard Lavau" a écrit dans le message
> news:
> tn5la118qoh4v3fcndb7f9dq77r27odeha@4ax.com...
>[color=green]
> >Oui. Si, partant des axiomes A1, A2, ..., An, on construit un édifice
> >mathématique et qu'un jour, on obtient une contradiction, ce n'est pas
> >grave, on aura alors prouvé le théorème :
> >A1, A2 ... A(n-1) => non (An).
> >Il faudra évidemment reprendre les énoncés s'appuyant sur ces axiomes
> >pour faire le ménage.
>
> Je ne suis pas sûr de bien comprendre. Est-ce que ça signifie que, parmi
> les axiomes {A1, A2, ..., A(n-1), An}, on va devoir chercher la combinaison
> d'axiomes qui provoque la contradiction ....[/color]


Remarques-tu la tautologie ici?

Soit p = A1 et A2 et ... et A(n-1),

q = An.

La contradiction entraîne

non (p et q)

ce qui équivaut à

p implique non q

comme l'a dit Gérard Lavau.

Naturellement il se peut que p tout seul provoque une _autre_
contradiction.

Ken Pledger.