Triplet pythagoricien

[Anonyme]

Bonsoir,

J'ai trouvé dans un livre cette démonstration (??) pour déterminer la forme
générale des triplets de Pythagore, et je me pose une question. Voici la
démo :

**forme générales des triplets de Pythagore.
Ils doivent vérifier a²+b²=m², c'est à dire (m+a)(m-a)=b².
m-a et m+a doivent donc être des carrés : m+a=x² et m-a=y² d'où a=(x²-y²)/2,
b=xy et m=(x²+y²)2**

Je ne vois pas pourquoi *m-a* et *m+a* doivent être des carrés ?? Si
j'essaie pour m=5 et a=3, tout fonctionne (b=4) et pourtant les expressions
sus-nommées ne sont pas carrées.

Merci de m'éclairer, cela fait deux jours que ça me tourmente )

Rita

[Anonyme]

"Rita" , dans le message (fr.education.entraide.maths:58473), a écrit :
> **forme générales des triplets de Pythagore.
> Ils doivent vérifier a²+b²=m², c'est à dire (m+a)(m-a)=b².
> m-a et m+a doivent donc être des carrés : m+a=x² et m-a=y² d'où a=(x²-y²)/2,
> b=xy et m=(x²+y²)2**
>
> Je ne vois pas pourquoi *m-a* et *m+a* doivent être des carrés ??

C'est parce qu'on peut supposer que m, a, b sont deux à deux premiers
entre eux, et que m et a sont de parité différente (quitte à intervertir
a et b). Alors m-a et m+a sont premiers entre eux, et donc, leur produit
étant un carré, chacun est un carré.

--
Yves

[Anonyme]

"Rita" a écrit dans le message de news:
> **forme générales des triplets de Pythagore.
> Ils doivent vérifier a²+b²=m², c'est à dire (m+a)(m-a)=b².
> m-a et m+a doivent donc être des carrés : m+a=x² et m-a=y² d'où
a=(x²-y²)/2,
> b=xy et m=(x²+y²)2**
>
> Je ne vois pas pourquoi *m-a* et *m+a* doivent être des carrés ?? Si
> j'essaie pour m=5 et a=3, tout fonctionne (b=4) et pourtant les
expressions
> sus-nommées ne sont pas carrées.


Tu as la preuve (ton contre-exemple) que la démo est fausse...
Pourquoi tu te prends la tête ?

[Anonyme]

Le 08/10/2004 23:22, Yves De Cornulier a écrit :[color=green]
>>
>> Je ne vois pas pourquoi *m-a* et *m+a* doivent être des carrés ??
>
> C'est parce qu'on peut supposer que m, a, b sont deux à deux premiers
> entre eux, et que m et a sont de parité différente (quitte à intervertir
> a et b). Alors m-a et m+a sont premiers entre eux, et donc, leur produit
> étant un carré, chacun est un carré.[/color]

Et dans l'exemple que donnait rita, en prenant a=4 au lieu de a=3, ça
marche : 5-4 = 1² ; 5+4 = 3².

[Anonyme]

> "Rita" a écrit dans le message de news:[color=green]
>> **forme générales des triplets de Pythagore.
>> Ils doivent vérifier a²+b²=m², c'est à dire (m+a)(m-a)=b².
>> m-a et m+a doivent donc être des carrés : m+a=x² et m-a=y² d'où
> a=(x²-y²)/2,
>> b=xy et m=(x²+y²)2**
>>
>> Je ne vois pas pourquoi *m-a* et *m+a* doivent être des carrés ?? Si
>> j'essaie pour m=5 et a=3, tout fonctionne (b=4) et pourtant les
> expressions
>> sus-nommées ne sont pas carrées.
>
>
> Tu as la preuve (ton contre-exemple) que la démo est fausse...
> Pourquoi tu te prends la tête ?
>[/color]

Je me prends la tête parce que le but est de déterminer la forme générale et
je ne l'ai toujours pas si j'ai l'impression que la preuve est fausse !!
D'un autre côté, ce n'est qu'une impression, je n'ai pas une grande
confiance en moi...

Rita

[Anonyme]

Rita a écrit :
> Bonsoir,
>
> J'ai trouvé dans un livre cette démonstration (??) pour déterminer la forme
> générale des triplets de Pythagore, et je me pose une question. Voici la
> démo :
>
> **forme générales des triplets de Pythagore.
> Ils doivent vérifier a²+b²=m², c'est à dire (m+a)(m-a)=b².
> m-a et m+a doivent donc être des carrés : m+a=x² et m-a=y² d'où a=(x²-y²)/2,
> b=xy et m=(x²+y²)2**
>
> Je ne vois pas pourquoi *m-a* et *m+a* doivent être des carrés ?? Si
> j'essaie pour m=5 et a=3, tout fonctionne (b=4) et pourtant les expressions
> sus-nommées ne sont pas carrées.
>
> Merci de m'éclairer, cela fait deux jours que ça me tourmente )
>
> Rita
>
>

Ne faut-il pas plutôt m=(x²+y²)/2 ?

[Anonyme]

Olivier Miakinen a écrit :

> Le 08/10/2004 23:22, Yves De Cornulier a écrit :
>[color=green][color=darkred]
>>>Je ne vois pas pourquoi *m-a* et *m+a* doivent être des carrés ??
>>
>>C'est parce qu'on peut supposer que m, a, b sont deux à deux premiers
>>entre eux, et que m et a sont de parité différente (quitte à intervertir
>>a et b). Alors m-a et m+a sont premiers entre eux, et donc, leur produit
>>étant un carré, chacun est un carré.[/color]
>
>
> Et dans l'exemple que donnait rita, en prenant a=4 au lieu de a=3, ça
> marche : 5-4 = 1² ; 5+4 = 3².[/color]

Oui en effet. Prenons ton exemple précéent, avec :

a = 3 et m = 5

Alors : (5+3)(5-3) = 16

Nous avons : (5+3)=x^2 et
(5-3)=y^2 soit

x^2 = (?8)^2 et
y^2 = (?2)^2

Ainsi : (?8)^2 . (?2)^2 = 4^2

Alors b = 4

A mon sens, nous avons là des racines "déguisées".

Tap^^

[Anonyme]

Taptou a écrit :

> Olivier Miakinen a écrit :
>[color=green]
>> Le 08/10/2004 23:22, Yves De Cornulier a écrit :
>>[color=darkred]
>>>> Je ne vois pas pourquoi *m-a* et *m+a* doivent être des carrés ??
>>>
>>>
>>> C'est parce qu'on peut supposer que m, a, b sont deux à deux premiers
>>> entre eux, et que m et a sont de parité différente (quitte à intervertir
>>> a et b). Alors m-a et m+a sont premiers entre eux, et donc, leur produit
>>> étant un carré, chacun est un carré.
>>
>>
>>
>> Et dans l'exemple que donnait rita, en prenant a=4 au lieu de a=3, ça
>> marche : 5-4 = 1² ; 5+4 = 3².[/color]
>
>
> Oui en effet. Prenons ton exemple précéent, avec :
>
> a = 3 et m = 5
>
> Alors : (5+3)(5-3) = 16
>
> Nous avons : (5+3)=x^2 et
> (5-3)=y^2 soit
>
> x^2 = (?8)^2 et
> y^2 = (?2)^2
>
> Ainsi : (?8)^2 . (?2)^2 = 4^2
>
> Alors b = 4
>
> A mon sens, nous avons là des racines "déguisées".
>
> Tap^^[/color]


Oups !
Police d'écriture pose problème. Prenez " ? " comme " racine carré "

[Anonyme]

Bonjour,

Rita a écrit:[color=green][color=darkred]
>>>Ils doivent vérifier a²+b²=m², c'est à dire (m+a)(m-a)=b².
>>>m-a et m+a doivent donc être des carrés : m+a=x² et m-a=y² d'où
>>>
>>>Je ne vois pas pourquoi *m-a* et *m+a* doivent être des carrés ?? Si[/color]
>
>
> Je me prends la tête parce que le but est de déterminer la forme générale et
> je ne l'ai toujours pas si j'ai l'impression que la preuve est fausse !!
> D'un autre côté, ce n'est qu'une impression, je n'ai pas une grande
> confiance en moi...
>[/color]

Comme l'a dit Yves, on peut supposer sans perte de généralité
a,b,m premiers entre eux :
Si p divise a,b,m on peut diviser par p^2 :
(a/p)^2 + (b/p)^2 = (m/p)^2 est aussi un triplet.
Si on obtient tous les triplets (a,b,m) primitifs c'est à dire
PGCD(a,b,m)=1, on obtient tous les triplets par (ka,kb,km).

Alors tout diviseur commun de m+a et m-a divise 2m et 2a
et est donc 1 ou 2.

Ce facteur éventuel "2" sème la pagaille. Pour s'en affranchir,
on peut imposer b impair.
Ceci est toujours possible car :
a ou b pair (si a et b impairs, a^2 + b^2 = 2 modulo 4 ne peut
pas être un carré)
si a et b pairs, m est pair et PGCD(a,b,m) pair donc != 1

On peut donc imposer a pair, b et m impairs, PGCD(a,b,m) = 1
alors m+a et m-a sont premiers entre eux. Comme leur produit
est un carré, ce sont bien cette fois deux carrés x^2 et y^2.

et donc les formules donnant tous les triplets *primitifs* :
m = (x^2 + y^2)/2
a = (x^2 - y^2)/2
b = xy
*PGCD(x,y)=1, x et y impairs*

et l'ensemble de tous les triplets :
m = k(x^2 + y^2)/2
a = k(x^2 - y^2)/2
b = kxy
*PGCD(x,y)=1, x et y impairs, k quelconque*

Nota : dans certaines démonstrations qui utilisent comme acquises
les formules donnant les triplets, le terme "/2" est enquiquinant
et on trouve les formules équivallentes :
m = k(u^2 + v^2)
b = k(u^2 - v^2)
a = 2kuv
PGCD(u,v)=1, u et v de parité opposée, k quelconque
(un simple changement de variable)

Nota 2 : si on supprime la condition sur x et y en supposant
que c'est inclus dans le facteur k :
1) ça ne marche pas toujours (il faut x^2 + y^2 pair)
2) on n'est plus sûr de les avoir tous car la démonstration
ci-dessus est alors effectivement fausse
(m+a)(m-a) = b^2 =/=> m+a = x^2, m-a = y^2
comme le montre les divers contre exemples du fil.

Et effectivement on ne les obtient pas tous :
le triplet (9,12,15) ne peut pas être obtenu par
m = (x^2 + y^2)/2
a = (x^2 - y^2)/2
b = xy
car 30 ne peut pas être une somme de deux carrés.
Le facteur multiplicatif k est nécessaire.
Mais alors on les obtient plusieurs fois :
la condition sur x et y est elle aussi utile.

--
philippe
(chephip à free point fr)

[Anonyme]

Rita wrote:

bonjour

> a"+b"=m", ...
> d'où a=(x"-y") b=2xy et m=(x"+y")
>
en regardant de plus prés ces triplets ,je me suis posé la question
si on prend (x,y)=(2,1) on a le triplet classique (3,4,5)
si on prend (x,y)=(3,1) on a le triplet (6,8,10) qui est une homothétie
du précédent,par contre
si on prend (x,y)=(3,2) on a le triplet (5,12,13) qui n'est pas une
homothétie des 2 précédents

ma question est:n'y a t il pas un moyen de reconnaitre les couples (x,y)
qui va générer la classe des triangles homothétiques ,par ex.,celle de
(3,4,5) est (2,1) ,celle de (5,12,13) est (3,2) etc...

voila,j'espère que c'est clair

amicalement ,ben

--
ouf!

[Anonyme]

Bonjour,

benoit delphan a écrit:
> Rita wrote:
>[color=green]
>>a"+b"=m", ...
>> d'où a=(x"-y") b=2xy et m=(x"+y")
>>
>[/color]

Citation abusive. Rita n'a jamais écrit ça !
même en remplaçant la police de caractère " par ² ou mieux ^2

Rita a écrit :
a = (x^2 - y^2)/2, b = xy, m = (x^2 + y^2)/2
ce qui ne donne pas les mêmes ensembles de triplets.

> en regardant de plus prés ces triplets ,je me suis posé la question
> si on prend (x,y)=(2,1) on a le triplet classique (3,4,5)
> si on prend (x,y)=(3,1) on a le triplet (6,8,10) qui est une homothétie
> du précédent,par contre
> si on prend (x,y)=(3,2) on a le triplet (5,12,13) qui n'est pas une
> homothétie des 2 précédents
>

Et il n'existe aucune valeur de x,y qui donne le triplet (18,24,30)
avec tes formules (m = x^2 + y^2)
ou le triplet (9,12,15) avec les formules de Rita m=(x^2+y^2)/2 !
Car 30 ne peut pas être une somme de deux carrés.
Ces formules telles quelles sont donc sans valeur. voir plus bas.

> ma question est:n'y a t il pas un moyen de reconnaitre les couples (x,y)
> qui va générer la classe des triangles homothétiques ,par ex.,celle de
> (3,4,5) est (2,1) ,celle de (5,12,13) est (3,2) etc...
>

La bonne méthode est de définir l'ensemble des triplets *primitifs*
c'est à dire où a,b,m n'ont aucun diviseur commun.
(le plus petit représentant de tes classes d'équivallence)

On a alors tes formules *avec la condition* :
x, y premiers entre eux et de parité opposée
Ou ce qui revient au même les formules de Rita avec :
x, y premiers entre eux impairs

Ceci donne tous les triplets primitifs sans répétition.

L'ensemble de tous les triplets est alors l'ensemble des multiples
des triplets primitifs.

Amicalement

--
philippe
(chephip à free point fr)

[Anonyme]

philippe 92 wrote:

> Bonjour,
>
> benoit delphan a écrit:[color=green]
> > Rita wrote:
> >[color=darkred]
> >>a"+b"=m", ...
> >> d'où a=(x"-y") b=2xy et m=(x"+y")
> >>
> >[/color]
>
> Citation abusive. Rita n'a jamais écrit ça !
> même en remplaçant la police de caractère " par " ou mieux ^2
>[/color]
je sais

> Rita a écrit :
> a = (x^2 - y^2)/2, b = xy, m = (x^2 + y^2)/2
> ce qui ne donne pas les mêmes ensembles de triplets.

je sais
>[color=green]
> > en regardant de plus prés ces triplets ,je me suis posé la question
> > si on prend (x,y)=(2,1) on a le triplet classique (3,4,5)
> > si on prend (x,y)=(3,1) on a le triplet (6,8,10) qui est une homothétie
> > du précédent,par contre
> > si on prend (x,y)=(3,2) on a le triplet (5,12,13) qui n'est pas une
> > homothétie des 2 précédents
> >
>
> Et il n'existe aucune valeur de x,y qui donne le triplet (18,24,30)[/color]

> avec tes formules (m = x^2 + y^2)

je suis obligé de l'admettre(tu viens de faire tomber une de mes
"certitudes"...)

> ou le triplet (9,12,15) avec les formules de Rita m=(x^2+y^2)/2 !
> Car 30 ne peut pas être une somme de deux carrés.
> Ces formules telles quelles sont donc sans valeur. voir plus bas.
>[color=green]
> > ma question est:n'y a t il pas un moyen de reconnaitre les couples (x,y)
> > qui va générer la classe des triangles homothétiques ,par ex.,celle de
> > (3,4,5) est (2,1) ,celle de (5,12,13) est (3,2) etc...
> >
>
> La bonne méthode est de définir l'ensemble des triplets *primitifs*
> c'est à dire où a,b,m n'ont aucun diviseur commun.
> (le plus petit représentant de tes classes d'équivallence)
>
> On a alors tes formules *avec la condition* :
> x, y premiers entre eux et de parité opposée[/color]

je note

> Ou ce qui revient au même les formules de Rita avec :
> x, y premiers entre eux impairs
>
> Ceci donne tous les triplets primitifs sans répétition.
>
> L'ensemble de tous les triplets est alors l'ensemble des multiples
> des triplets primitifs.
>

merci

> Amicalement

de même

--
ouf!

[Anonyme]

"philippe 92" a donné la formule générale des triplets pythagoriciens.

> m = k(u^2 + v^2)
> b = k(u^2 - v^2)
> a = 2kuv
> PGCD(u,v)=1, u et v de parité opposée, k quelconque

Questions subsidiaires :

1) Trouver trois carrés (rationnels) en progression arithmétique de
raison 5.

Autrement dit trois nombres rationnels A, B, C tels que
A² + 5 = B² et B² + 5 = C²

2) Trouver trois carrés (rationnels) en p. a. de raison 23.

ici A² + 23 = B² et B² + 23 = C²

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

Bonjour,

Stéphane Ménart a écrit:
>
> Questions subsidiaires :
>
> 1) Trouver trois carrés (rationnels) en progression arithmétique de
> raison 5.
>
> Autrement dit trois nombres rationnels A, B, C tels que
> A² + 5 = B² et B² + 5 = C²
>

(31/12)^2, (41/12)^2, (49/12)^2

mais aussi :
(113279/1494696)^2, (4728001/1494696)^2, (3344161/1494696)^2

etc...

> 2) Trouver trois carrés (rationnels) en p. a. de raison 23.
>
> ici A² + 23 = B² et B² + 23 = C²
>

Pour 23 je n'ai pas trouvé (mon programme part en overflow)

Autant il est facile de trouver des carrés en progression
arithmétique, autant c'est difficile si on impose la valeur
de la raison.

Les carrés entiers en progression arithmétique
(B^2 = A^2 + r, C^2 = B^2 + r) sont tous donnés par :

A = m |2*p*q - (p^2 - q^2)|
B = m (p^2 + q^2)
C = m (2*p*q + (p^2 - q^2))
r = 4*m^2*p*q*(p^2 - q^2)
p, q premiers entre eux et de parité opposée

Ceci se déduit aisément des formules donnant les triplets de
Pythagore. r est forcément un multiple de 24.

Les carrés rationels sont obtenus en divisant par un diviseur
carré de r.
Les valeurs de la raison sont tous les nombres de la forme
r = p*q*(p^2 - q^2)/(k^2)

Les r possibles sont alors dits "nombres congruents" :
5, 6, 7, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39,
41, 46, 47, 53, 55, 61, 62, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 85,
86, 87, 93, 94, 95....

reste que trouver k,p,q avec p*q*(p^2 - q^2) = 23*k^2
bon courage...

déja pour r = 13 la plus petite valeur (!) est donnée par
p = 325, q = 36
A = 80929/19380, B = 106921/19380, C = 127729/19380

r = 23 nécessite p>10000
Il n'y a pas de relation directe entre la valeur de r et la
valeur min de p.
r=41 donne p=25, q=16, A=431/120, B=881/120, C=1169/120

De nos jours ceci se résout par la recherche de points à
coordonnées rationelles sur une "courbe elliptique"
Y^2 = X^3 - r^2*X
C'est largement au delà de l'arithmétique élémentaire.
in English pour une première approche :
http://www.math.umd.edu/~eve/cong_num.html

On trouve facilement sur le Web des tables (table de Cremona
et autres) donnant ces valeurs. Par exemple ici :


on obtient pour r (appelé D) = 23 :
p (m) = 24336, q (n) = 17689

d'où on déduit avec une simple calculette :
A = 581618833/144613560
B = 905141617/144613560
C = 1140299183/144613560

Amicalement.

--
philippe
(chephip à free point fr)

[Anonyme]

Bonjour,

Stéphane Ménart a écrit:
>
> Questions subsidiaires :
>
> 1) Trouver trois carrés (rationnels) en progression arithmétique de
> raison 5.
>
> Autrement dit trois nombres rationnels A, B, C tels que
> A² + 5 = B² et B² + 5 = C²
>


(31/12)^2, (41/12)^2, (49/12)^2

mais aussi :
(113279/1494696)^2, (4728001/1494696)^2, (3344161/1494696)^2

etc...

> 2) Trouver trois carrés (rationnels) en p. a. de raison 23.
>
> ici A² + 23 = B² et B² + 23 = C²
>


Pour 23 je n'ai pas trouvé (mon programme part en overflow)

Autant il est facile de trouver des carrés en progression
arithmétique, autant c'est difficile si on impose la valeur
de la raison.

Les carrés entiers en progression arithmétique
(B^2 = A^2 + r, C^2 = B^2 + r) sont tous donnés par :

A = m |2*p*q - (p^2 - q^2)|
B = m (p^2 + q^2)
C = m (2*p*q + (p^2 - q^2))
r = 4*m^2*p*q*(p^2 - q^2)
p, q premiers entre eux et de parité opposée

Ceci se déduit aisément des formules donnant les triplets de
Pythagore. r est forcément un multiple de 24.

Les carrés rationels sont obtenus en divisant par un diviseur
carré de r.
Les valeurs de la raison sont tous les nombres de la forme
r = p*q*(p^2 - q^2)/(k^2)

Les r possibles sont alors dits "nombres congruents" :
5, 6, 7, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39,
41, 46, 47, 53, 55, 61, 62, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 85,
86, 87, 93, 94, 95....

reste que trouver k,p,q avec p*q*(p^2 - q^2) = 23*k^2
bon courage...

déja pour r = 13 la plus petite valeur (!) est donnée par
p = 325, q = 36
A = 80929/19380, B = 106921/19380, C = 127729/19380

r = 23 nécessite p>10000
Il n'y a pas de relation directe entre la valeur de r et la
valeur min de p.
r=41 donne p=25, q=16, A=431/120, B=881/120, C=1169/120

De nos jours ceci se résout par la recherche de points à
coordonnées rationelles sur une "courbe elliptique"
Y^2 = X^3 - r^2*X
C'est largement au delà de l'arithmétique élémentaire.
in English pour une première approche :
http://www.math.umd.edu/~eve/cong_num.html

On trouve facilement sur le Web des tables (table de Cremona
et autres) donnant ces valeurs. Par exemple ici :


on obtient pour r (appelé D) = 23 :
p (m) = 24336, q (n) = 17689

d'où on déduit avec une simple calculette :
A = 581618833/144613560
B = 905141617/144613560
C = 1140299183/144613560

Amicalement.

--
philippe
(chephip à free point fr)

[Anonyme]

"philippe 92" a écrit
[color=green]
>> 2) Trouver trois carrés (rationnels) en p. a. de raison 23.
>>
>> ici A² + 23 = B² et B² + 23 = C²
>>[/color]

> A = 581618833/144613560
> B = 905141617/144613560
> C = 1140299183/144613560

Merci pour toutes ces précisions.

Cordialement
Stéphane