Transformée de Fourier d'une fonction dedensité

[Anonyme]

Bonjour,

Je me demandais s'il existait des conditions nécessaires et suffisantes
sur une fonction F pour qu'elle soit la transformée de Fourier d'une
fonction de densité (c'est-à-dire une fonction de R^n dans R, positive et
qui intègre à 1. On peut éventuellement imposer la continuité, mais je
ne pense pas que ça change quoi que ce soit vu que, autant que je me
rappelle, 2 fonctions égales presque partout ont la meme TF).

Pour l'intégration à 1, on voit clairement que ça impose F(0) = 1. En
revanche, je ne vois pas comment traiter la positivité.

Si vous avez des idées, ça m'intéresse beaucoup beaucoup.

Merci.

--
Nicolas

[Anonyme]

Bon, je suis un peu dans le vague, mais voici des pistes :

-- la transformee de Fourier de f convolé avec f(-x) est
positive (ca doit donner le module au carré de la transformée de f
ou alors ce n'est pas f(-x) mais un truc qui y ressemble désolé !)
-- si j'ai bonne mémoire, il doit y avoir un théorème de Fejer
qu'on doit trouver dans le Zygmund qui dit ou bien que toute
transformée positive est de cette forme, ou bien qu'il
s'agit d'une somme de telles fonctions. A moins que ce ne soit valable
modulo 1 sur R, ce qui m'étonnerait assez.
Si quelqu'un pouvait préciser, je lui en serait gré

Enfin, cela donne du grain a moudre !
Amitiés,
Olivier