T.A.F.

[Anonyme]

bonjour tt le monde

voilà ma question : on peut appliquer le théorème des accroissements finis
pour une fonction continue sur un intervalle fermé borné et dérivable sur le
même intervalle ouvert.
mais marche-t-il lorsque l'intervalle est ouvert à droite ou à gauche du
style [a,+oo[ ou ]-oo,+oo[ sachant que la fonction admet la même limite à
droite et à gauche?
et comment le démontrer?

une petite idée?

une autre question : comment démontrer qu'une fonction continue , définie
sur [a,+oo[ vers IR et admettant une limite en +oo, est bornée?
j'ai posé la définition d'une fonction bornée, d'une fonction continue, et
de la limite en +oo mais j'arrive à pas grand chose!!

merci d'avance

Guiz

[Anonyme]

> voilà ma question : on peut appliquer le théorème des accroissements finis
> pour une fonction continue sur un intervalle fermé borné et dérivable sur
> le même intervalle ouvert.
> mais marche-t-il lorsque l'intervalle est ouvert à droite ou à gauche du
> style [a,+oo[ ou ]-oo,+oo[ sachant que la fonction admet la même limite à
> droite et à gauche?
> et comment le démontrer?
>
> une petite idée?
>
>
> une autre question : comment démontrer qu'une fonction continue , définie
> sur [a,+oo[ vers IR et admettant une limite en +oo, est bornée?
> j'ai posé la définition d'une fonction bornée, d'une fonction continue, et
> de la limite en +oo mais j'arrive à pas grand chose!!

Pour les deux questions: se ramener au cas d'un segment. Par exemple, pour
la deuxième: la définition de la limite en +oo te montre l'existence d'un A
tel que f est bornée sur [A, +oo[. D'autre part, f est continue sur le
segment [a, A], donc bornée dessus. Il est après facile de conclure.
En faisant un peu attention, on peut même montrer que f atteint ses bornes,
dont une au moins sur ]a, +oo[ (choisir le "epsilon" assez petit dans la
définition de la limite). On en déduit une version du théorème de Rolle sur
un intervalle fermé non majoré.

Je te laisse chercher les détails, car c'est un exercice qu'il est vraiment
intéressant de faire tout seul.

--
Mû

[Anonyme]

GuizLolo a écrit:
> bonjour tt le monde
>
> voilà ma question : on peut appliquer le théorème des accroissements finis
> pour une fonction continue sur un intervalle fermé borné et dérivable sur le
> même intervalle ouvert.
> mais marche-t-il lorsque l'intervalle est ouvert à droite ou à gauche du
> style [a,+oo[ ou ]-oo,+oo[ sachant que la fonction admet la même limite à
> droite et à gauche?
> et comment le démontrer?

Le théorème des accroissements finis dit que si f est continue sur
[a,b], dérivable sur ]a,b[ il existe c dans ]a,b[ avec
f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a).
Dans ce cas en faisant l'analogie je suppose que tu veux montrer qu'il
existe un c tel que f'(c) = 0. Pour cela il te suffit de trouver un
intervalle [a',b'] inclu dans [a,+oo[ (je traite le premier cas) avec
f(a') = f(b'). Or un tel intervalle existe car ... (preuve à terminer).

Dans le même genre on peut montrer qu'une fonction continue sur ]a,b[ et
qui vérifie la propriété des valeurs intermédiaires sur [a,b] vérifie la
"propriété" des accroissements finis.

> une petite idée?
>
> une autre question : comment démontrer qu'une fonction continue , définie
> sur [a,+oo[ vers IR et admettant une limite en +oo, est bornée?
> j'ai posé la définition d'une fonction bornée, d'une fonction continue, et
> de la limite en +oo mais j'arrive à pas grand chose!!

par la définition de la limite :
pour tout epsilon > 0, il existe A > 0, tel que x > A => |f(x)-l| <
epsilon. Donc f est bornée sur [A,+oo[ (le montrer). Ca devrait être
plus facile maintenant non ?

Redemandes si ce n'est pas assez précis.

--
albert