T.s

[Anonyme]

Petit problème sur le sujet suivant:

n et k deux entiers tel que n >= 2 et k >=2.
Montrer que n^(k) peut s'écrire sous forme de n entiers impairs consécutifs.

La récurrence est-elle la meilleure méthode ?

[Anonyme]

Alexandre a écrit:
> Petit problème sur le sujet suivant:
>
> n et k deux entiers tel que n >= 2 et k >=2.
> Montrer que n^(k) peut s'écrire sous forme de n entiers impairs consécutifs.
>
> La récurrence est-elle la meilleure méthode ?

tu veux dire sous forme d'une *somme* de n entiers impairs consécutifs ?

[Anonyme]

Petit problème sur le sujet suivant:

n et k deux entiers tel que n >= 2 et k >=2.
Montrer que n^(k) peut s'écrire sous forme d'une somme de n entiers impairs
consécutifs.

Une dictée erronée..
(C'est en effet d'une somme dont je parlais).


On me propose:
On prend n (pair ou impair). On définit comme suite:
(n+1) + (n+3) + ...
Quand n est pair.
Ou (n+2 ) + (n+4) + ...
Quand n est impair.

Puis on démontre par récurrence.
(Mais ...)

[Anonyme]

> n et k deux entiers tel que n >= 2 et k >=2.
> Montrer que n^(k) peut s'écrire sous forme d'une somme de n entiers impairs
> consécutifs.

remarques:
1) si n est pair alors n^k est pair, si n est impair alors n^k est impair.
2)Soient m_i i=1..n, n nombres impairs alors m_1 + m_2 + ... + m_n a la
même parité que n.
3)pair + impair = impair.

Début de démonstration:
Soit P(k) la propriété " n^k= m_1 + m_2 + ... + m_n où m_i sont n
entiers impairs consécutifs, i entier allant de 1 à n ".
On montre que n^2 peut s'écrire sous la forme de n entiers impairs
consécutifs, c'est à dire que P(2) est vraie.
Pour un entier k>=2 fixé.
On suppose que p(k) est vraie, c.a.d n^k= m_1 + m_2 + ... + m_n où m_i
sont n entiers impairs consécutifs, i entier allant de 1 à n.
Comme on a n^(k+1) = n^k + (n-1)n^k.
Il reste à remarquer que (n-1)n^k est un nombre pair car n ou n-1 est pair.
Soit M_i = m_i + (n-1)n^k tu utilises la remarque n°3).

A toi de poursuivre la démo.

N'oublie pas de montrer que n^2 peut s'écrire sous la forme de n entiers
impairs consécutifs.
Si tu as besoin d'aide à ce sujet écris sur le forum et je te donnerai
une indication.

Bon courage.
Soutiens Maths

[Anonyme]

> remarques:
> 1) si n est pair alors n^k est pair, si n est impair alors n^k
> est impair.
> 2)Soient m_i i=1..n, n nombres impairs alors m_1 + m_2 + ... + m_n a la
> même parité que n.
> 3)pair + impair = impair.
>
> Début de démonstration:
> Soit P(k) la propriété " n^k= m_1 + m_2 + ... + m_n où m_i sont n
> entiers impairs consécutifs, i entier allant de 1 à n ".
> On montre que n^2 peut s'écrire sous la forme de n entiers impairs
> consécutifs, c'est à dire que P(2) est vraie.
> Pour un entier k>=2 fixé.
> On suppose que p(k) est vraie, c.a.d n^k= m_1 + m_2 + ... + m_n où m_i
> sont n entiers impairs consécutifs, i entier allant de 1 à n.
> Comme on a n^(k+1) = n^k + (n-1)n^k.
> Il reste à remarquer que (n-1)n^k est un nombre pair car n ou n-1 est pair.
> Soit M_i = m_i + (n-1)n^k tu utilises la remarque n°3).

Voici ce que propose le prof. :

n^k somes de n entiers impairs consécutifs.
On cherche p tel que n^k = (2p +1) + (2p +2) + ... + (2p + 2n-1)

n^k = n.((2p +1) + (2p + 2n-1)) / 2

= n (4p + 2n) / 2
= n (2p + n)

=> 2p + n = n^k / n = n^(k-1)
=> 2p = n^(k-1) - n

Il faut que n^(k-1) -n soit pair.

Si n est pair:
n^(k-1) est pair.
=> n^(k-1) -n est pair.

Si n est impair, n^(k-1) est impair.
=> n^(k-1) -n est pair.

Donc p existe.

[Anonyme]

Belle démonstration du prof.
J'avoue que ma démo est plus longue.

Bonne continuation.


Alexandre a écrit :[color=green]
>> remarques:
>> 1) si n est pair alors n^k est pair, si n est impair alors n^k
>> est impair.
>> 2)Soient m_i i=1..n, n nombres impairs alors m_1 + m_2 + ... + m_n a
>> la même parité que n.
>> 3)pair + impair = impair.
>>
>> Début de démonstration:
>> Soit P(k) la propriété " n^k= m_1 + m_2 + ... + m_n où m_i sont n
>> entiers impairs consécutifs, i entier allant de 1 à n ".
>> On montre que n^2 peut s'écrire sous la forme de n entiers impairs
>> consécutifs, c'est à dire que P(2) est vraie.
>> Pour un entier k>=2 fixé.
>> On suppose que p(k) est vraie, c.a.d n^k= m_1 + m_2 + ... + m_n où m_i
>> sont n entiers impairs consécutifs, i entier allant de 1 à n.
>> Comme on a n^(k+1) = n^k + (n-1)n^k.
>> Il reste à remarquer que (n-1)n^k est un nombre pair car n ou n-1 est
>> pair.
>> Soit M_i = m_i + (n-1)n^k tu utilises la remarque n°3).
>
>
> Voici ce que propose le prof. :
>
> n^k somes de n entiers impairs consécutifs.
> On cherche p tel que n^k = (2p +1) + (2p +2) + ... + (2p + 2n-1)
>
> n^k = n.((2p +1) + (2p + 2n-1)) / 2
>
> = n (4p + 2n) / 2
> = n (2p + n)
>
> => 2p + n = n^k / n = n^(k-1)
> => 2p = n^(k-1) - n
>
> Il faut que n^(k-1) -n soit pair.
>
> Si n est pair:
> n^(k-1) est pair.
> => n^(k-1) -n est pair.
>
> Si n est impair, n^(k-1) est impair.
> => n^(k-1) -n est pair.
>
> Donc p existe.[/color]