[MP]

[Anonyme]

Bonjour, j'ai un éxercice de kholle à rendre rapidement, j'ai déjà avancé
mais je calle sur le derniere question...si quelqu'un peut m'aider :'( :

/ 0 0 1 \
Montrer que A = | 2 1 0 | est trigonalisable sur IR mais non
diagonalisable.
\ 0 0 1 /
Montrer que si M² = A alors les valeur propres de M sont parmi 0,1,-1
Déterminer les M telles que M² = A


Avancement actuel :
Le polynome caractéristique est scindé : -X(X-1)² , mais la somme des
dimmensions des sous espaces propres < 3, donc trigonalisable mais non
diagonalisable.
J'ai aussi démontré la seconde question.

Mais je calle sur la derniere :

mon prof m'a dit de la diagonaliser ce qui donne :

matrice diagonale :
/ 0 0 1 \
| 0 1 2 |
\ 0 0 1 /

matrice de passage :
/ 1 0 0 \
| -2 1 0 |
\ 0 0 1 /

avec [1,-2,0] vecteur propre pour la valeur propre 0
[0,1,0] vecteur propre pour la valeur propre 1 (d'ordre 2)

Je suis retourné voir mon prof qui m'a dit que la solution été dans des
histoires d'espaces stables. Et la je suis total perdu ... Si quelqu'un a la
possibilité de m'éclairer il aurra ma reconnaissance éternelle ! (sur la
méthode du prof ou sur une autre méthode à part la résolution d'un système
de 9 équations à 9 inconnus pour laquelle mon prof m'a traité de sinistre
monstre ...)

HELP !


--
Géraud de Mareschal
___________________________

ASTASE
http://www.astase.com
geraud-de.mareschal@astase.com

[Anonyme]

L'indication de ton professeur est excellente.

La matrice M que tu considère possède quatre sous espaces stables non
triviaux :
1- son noyau,
2- le noyau de M-Id
3- le noyau de (M-Id)^2
4- le noyau de M(M-Id).

Tu as calculé les sous espaces 1-, 2- et donc 4-. Tu devrais
t'intéresser de plus près au troisième (pour te ramener à une forme
trigonale "de Jordan"...).

Plus généralement, si (X-p)^k est un facteur du polynôme caractéristique
de M, il est utile de s'intéresser aux noyaux de M-pId, (M-pId)^2, ...
(M-pId)^k.

--
Benoît RIVET

[Anonyme]

Merci de ta réponse mais je n'arrive pas à voir comment résoudre M²=A avec
ces histoires de sous espaces stables. Y aurrait t il une propriété qui m'ai
échapée ?

--
Géraud de Mareschal

"Benoit Rivet" a écrit dans le message de
news:1glyurv.ac131fr9jzy8N%benoit.rivet@libre.fr.invalid...
> L'indication de ton professeur est excellente.
>
> La matrice M que tu considère possède quatre sous espaces stables non
> triviaux :
> 1- son noyau,
> 2- le noyau de M-Id
> 3- le noyau de (M-Id)^2
> 4- le noyau de M(M-Id).
>
> Tu as calculé les sous espaces 1-, 2- et donc 4-. Tu devrais
> t'intéresser de plus près au troisième (pour te ramener à une forme
> trigonale "de Jordan"...).
>
> Plus généralement, si (X-p)^k est un facteur du polynôme caractéristique
> de M, il est utile de s'intéresser aux noyaux de M-pId, (M-pId)^2, ...
> (M-pId)^k.
>
> --
> Benoît RIVET

[Anonyme]

Géraud de Mareschal est perdu:

> Merci de ta réponse mais je n'arrive pas à voir comment résoudre M"=A avec
> ces histoires de sous espaces stables. Y aurrait t il une propriété qui m'ai
> échapée ?

J'avais confondu M et A, mais peu importe.

En utilisant :
- le noyau de A,
- le noyau de A-Id,
- le noyau de (A-Id)^2

on peut trouver une base dans laquelle l'endomorphisme associé à A a
pour matrice :

/ 0 0 0 \
B=| 0 1 1 |
\ 0 0 1 /

et on peut facilement déterminer quelles matrices vérifient M^2=B (puis,
retrouver quelles matrices vérifient M^2=A).

La propriété qui t'a échappé, c'est que la matrice :

/ 0 0 0 \
B=| 0 1 1 |
\ 0 0 1 /

est plus facile à manipuler qu'une matrice du type :

/ 0 0 1 \
C=| 0 1 2 |
\ 0 0 1 /

et que pour calculer le troisième vecteur de base pour obtenir B, il
faut utiliser le sous espace caractéristique associé à la valeur propre
1 -i.e: le noyau de (A-Id)^2-.

Si tu n'as pas encore vu toutes ces notions, cet exercice est une bonne
occasion de comprendre pourquoi on s'amuse à couper les cheveux en
quatre en parlant de sous-espace caractéristiques, de décomposition de
Jordan etc... (mais au fait, est ce encore au programme ?)

--
Benoît RIVET

[Anonyme]

En fait ces histoires de décomposition de jordan, je n'en ai pas entendu
parlé, et ne suis pas sur que ce soit au programme ...
Je ne comprend pas quelque chose, puisque j'ai déjà deux vecteurs de la
matrice de passage obtenus avec les s-e-p mais pour le troisieme vecteur
j'ai fais le produit vectoriel des deux vecteurs propres précédents... Ayant
déjà le vecteur propre associé à la vp 1 comme colonne de la matrice de
passage je ne vois pas ce que vous voulez dire ...
Je suis désolé, j'ai l'impression d'être un peu malcomprenant...

En attendant (espérant) une explication de votre part sur cette nouvelle
matrice de passage, je vais tenter d'étudier les M tels que M² = B (la
matrice B que vous avez décrite)

--
Géraud de Mareschal

"Benoit Rivet" a écrit dans le message de
news:1glz2m0.u47wksax6b7aN%benoit.rivet@libre.fr.invalid...
> Géraud de Mareschal est perdu:
>[color=green]
> > Merci de ta réponse mais je n'arrive pas à voir comment résoudre M"=A[/color]
avec[color=green]
> > ces histoires de sous espaces stables. Y aurrait t il une propriété qui[/color]
m'ai[color=green]
> > échapée ?
>
> J'avais confondu M et A, mais peu importe.
>
> En utilisant :
> - le noyau de A,
> - le noyau de A-Id,
> - le noyau de (A-Id)^2
>
> on peut trouver une base dans laquelle l'endomorphisme associé à A a
> pour matrice :
>
> / 0 0 0 \
> B=| 0 1 1 |
> \ 0 0 1 /
>
> et on peut facilement déterminer quelles matrices vérifient M^2=B (puis,
> retrouver quelles matrices vérifient M^2=A).
>
> La propriété qui t'a échappé, c'est que la matrice :
>
> / 0 0 0 \
> B=| 0 1 1 |
> \ 0 0 1 /
>
> est plus facile à manipuler qu'une matrice du type :
>
> / 0 0 1 \
> C=| 0 1 2 |
> \ 0 0 1 /
>
> et que pour calculer le troisième vecteur de base pour obtenir B, il
> faut utiliser le sous espace caractéristique associé à la valeur propre
> 1 -i.e: le noyau de (A-Id)^2-.
>
> Si tu n'as pas encore vu toutes ces notions, cet exercice est une bonne
> occasion de comprendre pourquoi on s'amuse à couper les cheveux en
> quatre en parlant de sous-espace caractéristiques, de décomposition de
> Jordan etc... (mais au fait, est ce encore au programme ?)
>
> --
> Benoît RIVET[/color]

[Anonyme]

Géraud de Mareschal écrit:

> Je ne comprend pas quelque chose, puisque j'ai déjà deux vecteurs de la
> matrice de passage obtenus avec les s-e-p mais pour le troisieme vecteur
> j'ai fais le produit vectoriel des deux vecteurs propres précédents...

C'est l'ennui de travailler en dimension 2 ou 3 : on garde des réflexes
incongrus comme de faire des produits vectoriels.

Oublions celà.

On construit une base idoine de la façon suivante :
- le premier vecteur de base est un vecteur du noyau de A,
- le second vecteur de base est un vecteur du noyau de A-Id,
- le troisième vecteur de base est un vecteur du noyau de (A-Id)^2...

On a alors une base (e_1,e_2,e_3) dans laquelle la matrice de
l'endomorphisme associé à A est de la forme :

/ 0 0 0 \
D=| 0 1 a |
\ 0 0 1 /

mais, quitte à changer e_3 en 1/a e_3, on peut toujours se ramener au
cas où a=1.

Cette construction se généralise et est connue sous le nom de réduction
de Jordan, mais la marge est trop petite...

--
Benoît RIVET

[Anonyme]

On Wed, 20 Oct 2004 15:06:14 +0200, "Géraud de Mareschal"
wrote:

>Bonjour, j'ai un éxercice de kholle à rendre rapidement, j'ai déjà avancé
>mais je calle sur le derniere question...si quelqu'un peut m'aider :'( :
>
> / 0 0 1 \
>Montrer que A = | 2 1 0 | est trigonalisable sur IR mais non
>diagonalisable.
> \ 0 0 1 /
>Montrer que si M² = A alors les valeur propres de M sont parmi 0,1,-1
>Déterminer les M telles que M² = A
>
>
>Avancement actuel :
>Le polynome caractéristique est scindé : -X(X-1)² , mais la somme des
>dimmensions des sous espaces propres diagonalisable.
>J'ai aussi démontré la seconde question.
>
>Mais je calle sur la derniere :
>
>mon prof m'a dit de la diagonaliser ce qui donne :
tri plutôt
>matrice diagonale :
>/ 0 0 1 \
>| 0 1 2 |
>\ 0 0 1 /
>
>matrice de passage :
>/ 1 0 0 \
>| -2 1 0 |
>\ 0 0 1 /
>
>avec [1,-2,0] vecteur propre pour la valeur propre 0
> [0,1,0] vecteur propre pour la valeur propre 1 (d'ordre 2)
>
>Je suis retourné voir mon prof qui m'a dit que la solution été dans des
>histoires d'espaces stables. Et la je suis total perdu ... Si quelqu'un a la
>possibilité de m'éclairer il aurra ma reconnaissance éternelle ! (sur la
>méthode du prof ou sur une autre méthode à part la résolution d'un système
>de 9 équations à 9 inconnus pour laquelle mon prof m'a traité de sinistre
>monstre ...)
>
>HELP !
>
si X vect propre de A pour la valeur propre u
AX=uX
M^2X=uX
M^3X=uMX
AMX=uMX
donc MX reste dans l'espace propre de A pour u

cad cet espace propre est stable par M
or ici les 2 espaces propres sont de dim 1

donc si eo est propre pour 0
e1 propre pour 1
forcément Me0=ke0
Me1=k'e1
donc en complétant e0, e1 par un 3ième vecteur comme tu as fait

M devient M' avec 2 1ières colonnes simples
la 3ième tottalement inconnue
mais en identifaint M'^2
avec A'
>matrice diagonale :
>/ 0 0 1 \
>| 0 1 2 |
>\ 0 0 1 /
je trouve sans pb (petit systéme) 2 possibilités (opposées évidemment
)
pour M' : en voici une
0 0 1
0 1 1
0 0 1
reste plus qu'à rmeonter à M


*****************
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
*****************

[Anonyme]

Bon ben j'ai fini par utiliser ma premiere matrice diagonale
/ 001 \
| 012 |
\ 001 /

g dit que dans cette base les matrices m =
/ 001 \
| 011 |
\ 001 /
et -m sont solution, g donné p*m*p^-1 et p*-m*p^-1

Mais je n'ai pas su donner le cas général ... (enfin peut etre est ce les
deux seules solutions )

Merci pour votre aide.

Cordialement

--
Géraud de Mareschal