Pouvez-vous me rappeler la définition de l'ensemble des réels?
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R
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Re: R
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:24
"Madcow" a écrit dans le message de news:
> Pouvez-vous me rappeler la définition de l'ensemble des réels?
De l'ensemble N des entiers naturels, on construit l'anneau Z des entiers
relatifs.
Ensuite, on le plnge dans son corps de fractions Q .
Et le complété de Q donne R.
Si je n'ai pas dit de betise en chemin bien-sûr...
Osiris
> Pouvez-vous me rappeler la définition de l'ensemble des réels?
De l'ensemble N des entiers naturels, on construit l'anneau Z des entiers
relatifs.
Ensuite, on le plnge dans son corps de fractions Q .
Et le complété de Q donne R.
Si je n'ai pas dit de betise en chemin bien-sûr...
Osiris
Re: R
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:24
On Tue, 06 Jul 2004 00:10:59 +0200, Madcow wrote:
> Pouvez-vous me rappeler la définition de l'ensemble des réels?
R peut être défini comme l'ensemble des limites des suites convergentes
de rationnels. Ce n'est pas trop dur à trouver sur internet :
« définition ensemble réels » dans gogole et hop, sans oublier
http://fr.wikipedia.org/wiki/Construction_des_nombres_r%C3%A9els
nicolas patrois : pts noir asocial
--
GLOU-GLOU
P : Ouerk ! C'est dégueulasse, j'ai bu la tasse !
M : Panique pas... La mer est pleine de microbes, mais tellement dilués qu'ils sont inoffensifs...
P : C'est ça... La mer, c'est de la merde homéopathique !
> Pouvez-vous me rappeler la définition de l'ensemble des réels?
R peut être défini comme l'ensemble des limites des suites convergentes
de rationnels. Ce n'est pas trop dur à trouver sur internet :
« définition ensemble réels » dans gogole et hop, sans oublier
http://fr.wikipedia.org/wiki/Construction_des_nombres_r%C3%A9els
nicolas patrois : pts noir asocial
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P : Ouerk ! C'est dégueulasse, j'ai bu la tasse !
M : Panique pas... La mer est pleine de microbes, mais tellement dilués qu'ils sont inoffensifs...
P : C'est ça... La mer, c'est de la merde homéopathique !
Re: R
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:24
Tu fais ici allusion aux suites de Cauchy, mais cette propriété est plus
présentée comme une conséquence qu'une définition.
En fait il existe plus d'une approche pour définir R, par exemple :
- une approche à tendance algébrique - celle citée dans le post d'Osiris
- une approche plus topologique, dite "des coupures de Dedekind" :
http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono1/Dedekind.html
- une approche axiomatique "à la Hilbert" :
http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/histoire/construction_des_r%C3%A9els.htm
Il est toutefois aussi possible de partir des suites, mais il faut faire un
certain travail sur le concept de convergence. En effet, dans cette
approche, une suite dans Q converge... dans un ensemble R qui n'existe pas
encore à ce stade de la définition ! Il y a donc un risque de cercle vicieux
dans la définition, et il faut y aller sur la pointe des pieds
))
Hervé
"nicolas" a écrit dans le message
de news:pan.2004.07.06.06.04.22.231237@online.nospam.fr...
> On Tue, 06 Jul 2004 00:10:59 +0200, Madcow wrote:
>[color=green]
> > Pouvez-vous me rappeler la définition de l'ensemble des réels?
>
> R peut être défini comme l'ensemble des limites des suites convergentes
> de rationnels. Ce n'est pas trop dur à trouver sur internet :
> « définition ensemble réels » dans gogole et hop, sans oublier
> http://fr.wikipedia.org/wiki/Construction_des_nombres_r%C3%A9els
>
> nicolas patrois : pts noir asocial
> --
> GLOU-GLOU
>
> P : Ouerk ! C'est dégueulasse, j'ai bu la tasse !
> M : Panique pas... La mer est pleine de microbes, mais tellement dilués[/color]
qu'ils sont inoffensifs...
> P : C'est ça... La mer, c'est de la merde homéopathique !
>
>
présentée comme une conséquence qu'une définition.
En fait il existe plus d'une approche pour définir R, par exemple :
- une approche à tendance algébrique - celle citée dans le post d'Osiris
- une approche plus topologique, dite "des coupures de Dedekind" :
http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono1/Dedekind.html
- une approche axiomatique "à la Hilbert" :
http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/histoire/construction_des_r%C3%A9els.htm
Il est toutefois aussi possible de partir des suites, mais il faut faire un
certain travail sur le concept de convergence. En effet, dans cette
approche, une suite dans Q converge... dans un ensemble R qui n'existe pas
encore à ce stade de la définition ! Il y a donc un risque de cercle vicieux
dans la définition, et il faut y aller sur la pointe des pieds
))Hervé
"nicolas" a écrit dans le message
de news:pan.2004.07.06.06.04.22.231237@online.nospam.fr...
> On Tue, 06 Jul 2004 00:10:59 +0200, Madcow wrote:
>[color=green]
> > Pouvez-vous me rappeler la définition de l'ensemble des réels?
>
> R peut être défini comme l'ensemble des limites des suites convergentes
> de rationnels. Ce n'est pas trop dur à trouver sur internet :
> « définition ensemble réels » dans gogole et hop, sans oublier
> http://fr.wikipedia.org/wiki/Construction_des_nombres_r%C3%A9els
>
> nicolas patrois : pts noir asocial
> --
> GLOU-GLOU
>
> P : Ouerk ! C'est dégueulasse, j'ai bu la tasse !
> M : Panique pas... La mer est pleine de microbes, mais tellement dilués[/color]
qu'ils sont inoffensifs...
> P : C'est ça... La mer, c'est de la merde homéopathique !
>
>
Re: R
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:24
"Hervé Chappe" a écrit dans le message news:
40ea4dd0$0$12381$79c14f64@nan-newsreader-06.noos.net...
> Tu fais ici allusion aux suites de Cauchy, mais cette propriété est plus
> présentée comme une conséquence qu'une définition.
> En fait il existe plus d'une approche pour définir R, par exemple :
>
> - une approche à tendance algébrique - celle citée dans le post d'Osiris
>
> - une approche plus topologique, dite "des coupures de Dedekind" :
> http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono1/Dedekind.html
>
> - une approche axiomatique "à la Hilbert" :
>
http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/histoire/construction_des_r%C3%A9e
ls.htm
>
> Il est toutefois aussi possible de partir des suites, mais il faut faire
un
> certain travail sur le concept de convergence. En effet, dans cette
> approche, une suite dans Q converge... dans un ensemble R qui n'existe pas
> encore à ce stade de la définition ! Il y a donc un risque de cercle
vicieux
> dans la définition, et il faut y aller sur la pointe des pieds))
>
> Hervé
>
Pas de risque de cercle vicieux dans la construction de R; les suites de
rationnels convergent (ou non) dans Q.
Si mes souvenirs sont exacts R est le quotient de l'anneau des suites de
Cauchy rationnelles par l'idéal des suites
rationnelles qui convergent vers 0.
De toutes façons la construction de R n'est qu'une étape qu'on doit oublier
rapidement pour ne plus se souvenir que des propriétés qui caractérisent R :
R est un corps ordonné archimédien complet.
On se moque de savoir ce qu'est exactement un réel, ce qui est intéressant
ce sont les propriétés...
Pour répondre au message d'origine il faut savoir si on veut plutôt :
- une construction de R.
- une caractérisation de R (un ensemble de propriétés qui définissent R à un
isomorphisme près).
Jacky
40ea4dd0$0$12381$79c14f64@nan-newsreader-06.noos.net...
> Tu fais ici allusion aux suites de Cauchy, mais cette propriété est plus
> présentée comme une conséquence qu'une définition.
> En fait il existe plus d'une approche pour définir R, par exemple :
>
> - une approche à tendance algébrique - celle citée dans le post d'Osiris
>
> - une approche plus topologique, dite "des coupures de Dedekind" :
> http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono1/Dedekind.html
>
> - une approche axiomatique "à la Hilbert" :
>
http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/histoire/construction_des_r%C3%A9e
ls.htm
>
> Il est toutefois aussi possible de partir des suites, mais il faut faire
un
> certain travail sur le concept de convergence. En effet, dans cette
> approche, une suite dans Q converge... dans un ensemble R qui n'existe pas
> encore à ce stade de la définition ! Il y a donc un risque de cercle
vicieux
> dans la définition, et il faut y aller sur la pointe des pieds
))>
> Hervé
>
Pas de risque de cercle vicieux dans la construction de R; les suites de
rationnels convergent (ou non) dans Q.
Si mes souvenirs sont exacts R est le quotient de l'anneau des suites de
Cauchy rationnelles par l'idéal des suites
rationnelles qui convergent vers 0.
De toutes façons la construction de R n'est qu'une étape qu'on doit oublier
rapidement pour ne plus se souvenir que des propriétés qui caractérisent R :
R est un corps ordonné archimédien complet.
On se moque de savoir ce qu'est exactement un réel, ce qui est intéressant
ce sont les propriétés...
Pour répondre au message d'origine il faut savoir si on veut plutôt :
- une construction de R.
- une caractérisation de R (un ensemble de propriétés qui définissent R à un
isomorphisme près).
Jacky
Re: R
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:24
Pas trop d'accord sur les suites... Une suite de Cauchy dans Q converge soit
dans Q soit dans... quoi ? Dans quelque chose qui n'existe pas encore,
puisqu'on ne l'a pas encore défini. Pour être rigoureux, on ne peut donc pas
encore dire qu'elle converge. C'est là où intervient effectivement ta
définition : R est le quotient de l'anneau des suites DE CAUCHY
rationnelles (et non pas des suites CONVERGENTES rationnelles comme le
proposait le post de Nicolas) par l'idéal des suites rationnelles qui
convergent vers 0 (et pour ces dernières on peut vraiment parler de
convergence puisque 0 est rationnel).
Tout-à-dait d'accord par contre avec la fin de ton post :
- par construction, Cauchy ou Dedekind
- par caractérisation, Hilbert
@+++
Hervé
"Jacky Goyon" a écrit dans le message de
news:40ea5c6b$0$306$7a628cd7@news.club-internet.fr...
>
> "Hervé Chappe" a écrit dans le message news:
> 40ea4dd0$0$12381$79c14f64@nan-newsreader-06.noos.net...[color=green]
> > Tu fais ici allusion aux suites de Cauchy, mais cette propriété est plus
> > présentée comme une conséquence qu'une définition.
> > En fait il existe plus d'une approche pour définir R, par exemple :
> >
> > - une approche à tendance algébrique - celle citée dans le post d'Osiris
> >
> > - une approche plus topologique, dite "des coupures de Dedekind" :
> > http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono1/Dedekind.html
> >
> > - une approche axiomatique "à la Hilbert" :
> >
>[/color]
http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/histoire/construction_des_r%C3%A9e
> ls.htm[color=green]
> >
> > Il est toutefois aussi possible de partir des suites, mais il faut faire
> un
> > certain travail sur le concept de convergence. En effet, dans cette
> > approche, une suite dans Q converge... dans un ensemble R qui n'existe[/color]
pas[color=green]
> > encore à ce stade de la définition ! Il y a donc un risque de cercle
> vicieux
> > dans la définition, et il faut y aller sur la pointe des pieds))
> >
> > Hervé
> >
>
> Pas de risque de cercle vicieux dans la construction de R; les suites de
> rationnels convergent (ou non) dans Q.
> Si mes souvenirs sont exacts R est le quotient de l'anneau des suites de
> Cauchy rationnelles par l'idéal des suites
> rationnelles qui convergent vers 0.
> De toutes façons la construction de R n'est qu'une étape qu'on doit[/color]
oublier
> rapidement pour ne plus se souvenir que des propriétés qui caractérisent R
:
> R est un corps ordonné archimédien complet.
> On se moque de savoir ce qu'est exactement un réel, ce qui est intéressant
> ce sont les propriétés...
> Pour répondre au message d'origine il faut savoir si on veut plutôt :
> - une construction de R.
> - une caractérisation de R (un ensemble de propriétés qui définissent R à
un
> isomorphisme près).
>
> Jacky
>
>
>
dans Q soit dans... quoi ? Dans quelque chose qui n'existe pas encore,
puisqu'on ne l'a pas encore défini. Pour être rigoureux, on ne peut donc pas
encore dire qu'elle converge. C'est là où intervient effectivement ta
définition : R est le quotient de l'anneau des suites DE CAUCHY
rationnelles (et non pas des suites CONVERGENTES rationnelles comme le
proposait le post de Nicolas) par l'idéal des suites rationnelles qui
convergent vers 0 (et pour ces dernières on peut vraiment parler de
convergence puisque 0 est rationnel).
Tout-à-dait d'accord par contre avec la fin de ton post :
- par construction, Cauchy ou Dedekind
- par caractérisation, Hilbert
@+++
Hervé
"Jacky Goyon" a écrit dans le message de
news:40ea5c6b$0$306$7a628cd7@news.club-internet.fr...
>
> "Hervé Chappe" a écrit dans le message news:
> 40ea4dd0$0$12381$79c14f64@nan-newsreader-06.noos.net...[color=green]
> > Tu fais ici allusion aux suites de Cauchy, mais cette propriété est plus
> > présentée comme une conséquence qu'une définition.
> > En fait il existe plus d'une approche pour définir R, par exemple :
> >
> > - une approche à tendance algébrique - celle citée dans le post d'Osiris
> >
> > - une approche plus topologique, dite "des coupures de Dedekind" :
> > http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono1/Dedekind.html
> >
> > - une approche axiomatique "à la Hilbert" :
> >
>[/color]
http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/histoire/construction_des_r%C3%A9e
> ls.htm[color=green]
> >
> > Il est toutefois aussi possible de partir des suites, mais il faut faire
> un
> > certain travail sur le concept de convergence. En effet, dans cette
> > approche, une suite dans Q converge... dans un ensemble R qui n'existe[/color]
pas[color=green]
> > encore à ce stade de la définition ! Il y a donc un risque de cercle
> vicieux
> > dans la définition, et il faut y aller sur la pointe des pieds
))> >
> > Hervé
> >
>
> Pas de risque de cercle vicieux dans la construction de R; les suites de
> rationnels convergent (ou non) dans Q.
> Si mes souvenirs sont exacts R est le quotient de l'anneau des suites de
> Cauchy rationnelles par l'idéal des suites
> rationnelles qui convergent vers 0.
> De toutes façons la construction de R n'est qu'une étape qu'on doit[/color]
oublier
> rapidement pour ne plus se souvenir que des propriétés qui caractérisent R
:
> R est un corps ordonné archimédien complet.
> On se moque de savoir ce qu'est exactement un réel, ce qui est intéressant
> ce sont les propriétés...
> Pour répondre au message d'origine il faut savoir si on veut plutôt :
> - une construction de R.
> - une caractérisation de R (un ensemble de propriétés qui définissent R à
un
> isomorphisme près).
>
> Jacky
>
>
>
Re: R
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:24
Je pensais effectivement aux suites de Cauchy même si ce n'était pas
précisé.
nicolas patrois : pts noir asocial
--
GLOU-GLOU
P : Ouerk ! C'est dégueulasse, j'ai bu la tasse !
M : Panique pas... La mer est pleine de microbes, mais tellement dilués qu'ils sont inoffensifs...
P : C'est ça... La mer, c'est de la merde homéopathique !
précisé.
nicolas patrois : pts noir asocial
--
GLOU-GLOU
P : Ouerk ! C'est dégueulasse, j'ai bu la tasse !
M : Panique pas... La mer est pleine de microbes, mais tellement dilués qu'ils sont inoffensifs...
P : C'est ça... La mer, c'est de la merde homéopathique !
Re: R
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:24
C'est bien ce qui me semblait !
"nicolas" a écrit dans le message
de news:pan.2004.07.07.12.20.28.658716@online.nospam.fr...
> Je pensais effectivement aux suites de Cauchy même si ce n'était pas
> précisé.
>
> nicolas patrois : pts noir asocial
> --
> GLOU-GLOU
>
> P : Ouerk ! C'est dégueulasse, j'ai bu la tasse !
> M : Panique pas... La mer est pleine de microbes, mais tellement dilués
qu'ils sont inoffensifs...
> P : C'est ça... La mer, c'est de la merde homéopathique !
>
>
"nicolas" a écrit dans le message
de news:pan.2004.07.07.12.20.28.658716@online.nospam.fr...
> Je pensais effectivement aux suites de Cauchy même si ce n'était pas
> précisé.
>
> nicolas patrois : pts noir asocial
> --
> GLOU-GLOU
>
> P : Ouerk ! C'est dégueulasse, j'ai bu la tasse !
> M : Panique pas... La mer est pleine de microbes, mais tellement dilués
qu'ils sont inoffensifs...
> P : C'est ça... La mer, c'est de la merde homéopathique !
>
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