Z/pZ

[Anonyme]

En cours, on a défini Z/pZ comme :
Z/pZ={0barre,1barre,2barre,3barre,...,(p-1)barre}
et (i)barre={j=pk+i,k dans Z}

est-ce que Z/pZ = Z ?
Je pense que oui car pour tout x de Z on peut écrire sa division
euclidienne par p:
x=pq+r avec q dans Z et r dans Z inférieur ou égale à p-1 donc x
appartient à (r)barre donc à Z/pZ
réciproquement tout x de Z/pz est la somme d'un produit de deux relatifs
et d'un autre relatif donc encore un relatif

A quoi sert Z/pZ alors ?

[Anonyme]

Rodolphe a écrit dans le message ...
>En cours, on a défini Z/pZ comme :
>Z/pZ={0barre,1barre,2barre,3barre,...,(p-1)barre}
>et (i)barre={j=pk+i,k dans Z}
>
>est-ce que Z/pZ = Z ?
non Z/pZ admet p élément
Z une infinité
Z=Z/0Z

[Anonyme]

Jo a écrit :
> Rodolphe a écrit dans le message ...
>[color=green]
>>En cours, on a défini Z/pZ comme :
>>Z/pZ={0barre,1barre,2barre,3barre,...,(p-1)barre}
>>et (i)barre={j=pk+i,k dans Z}
>>
>>est-ce que Z/pZ = Z ?
>
> non Z/pZ admet p élément
> Z une infinité
> Z=Z/0Z
>
>
>[/color]

Je ne comprends pas pour Z/pZ est différent de Z. Dites moi où j'ai faux

x dans Z
Division euclidienne de x par p: x=pq+r avec 0 <= r <= p-1
donc x appartient à (r)barre donc à Z/pZ

x dans Z/pZ
Z/pZ ne contient que des entiers relatifs donc x dans Z

Donc Z = Z/pZ

Je suis en train de me demander si ma prof ne se serait pas trompé pour
Z/pZ, serait-ce plutôt Z/pZ={0,1,2,...,p-1} ? Ca expliquerait que Z/pZ
différent de Z et ça me semble bizarre que Z/pZ soit un ensemble
d'ensembles infinis (est-ce possible ?)
C'était un cours en amphi, j'espère que les 200 autres élèves n'ont pas
marqué une bêtise ^^

[Anonyme]

On Wed, 28 Jan 2004 10:24:41 +0100, Rodolphe wrote:
>Jo a écrit :[color=green]
>> Rodolphe a écrit dans le message ...
>>[color=darkred]
>>>En cours, on a défini Z/pZ comme :
>>>Z/pZ={0barre,1barre,2barre,3barre,...,(p-1)barre}
>>>et (i)barre={j=pk+i,k dans Z}
>>>
>>>est-ce que Z/pZ = Z ?
>>
>> non Z/pZ admet p élément
>> Z une infinité
>> Z=Z/0Z
>>
>>
>>[/color]
>
>Je ne comprends pas pour Z/pZ est différent de Z. Dites moi où j'ai faux
>
>x dans Z
>Division euclidienne de x par p: x=pq+r avec 0 donc x appartient à (r)barre donc à Z/pZ
>
>x dans Z/pZ
>Z/pZ ne contient que des entiers relatifs donc x dans Z[/color]
Non Z/pZ ne contient que des ENSEMBLES d'entiers relatifs.
>
>Donc Z = Z/pZ
>
>Je suis en train de me demander si ma prof ne se serait pas trompé pour
>Z/pZ, serait-ce plutôt Z/pZ={0,1,2,...,p-1} ? Ca expliquerait que Z/pZ
>différent de Z et ça me semble bizarre que Z/pZ soit un ensemble
>d'ensembles infinis (est-ce possible ?)
>C'était un cours en amphi, j'espère que les 200 autres élèves n'ont pas
>marqué une bêtise ^^
Non, elle a raison. {0barre, 1barre, ... , (p-1)barre} est un ensemble
qui comporte (en l'occurrence) p éléments. Si cela ne te paraît pas
clair :
Quel que soit a (ensemble, n'importe quoi), alors {a} a exactement
un élément : a lui même.
De même, si a et b sont différents, {a, b} a exactement deux
éléments : a et b. Je pense que tu fais une confusion entre
« l'ensemble dont les éléments sont a et b », {a, b} d'une part,
et « l'ensemble dont les éléments sont les éléments de a et b »,
a union b d'autre part.

[Anonyme]

Je ne comprend pas pourquoi Z/pZ est différent de Z. Où est mon erreur
quand je montre Z/pZ inclus dans Z et Z inclus dans Z/pZ ?
Merci pour ta réponse

[Anonyme]

On Wed, 28 Jan 2004 10:56:55 +0100, Rodolphe wrote:
>Je ne comprend pas pourquoi Z/pZ est différent de Z. Où est mon erreur
>quand je montre Z/pZ inclus dans Z et Z inclus dans Z/pZ ?
>Merci pour ta réponse
Ta démonstration n'est pas correcte :
Tu choisis x dans Z, x=pq+r, donc x est dans r barre. Oui.
Mais x n'EST PAS dans Z/pZ. Le fait est, la relation « être
un élément de » (ou « être dans ») n'EST PAS transitive.
Autrement dit, ce n'est pas parce que a est dans b et b dans
c que a est dans c. Par exemple :
soit b l'ensemble {a} avec a = {1}. On a bien a élément de
b, mais 1 n'est pas élément [sauf à considérer que l'axiome
de fondation est faux, enfin je ne veux surtout pas t'embrouiller,
cette remarque est juste pour faire bien] de b. Le SEUL
élément de b est {1}. Or 1 et {1} sont différents.
De même dans l'autre sens : tu affirmes « Z/pZ ne contient
que des entiers relatifs ». C'est faux : la bonne phrase
serait « Z/pZ ne contient que des ENSEMBLES d'entiers relatifs ».
J'espère que je ne suis pas trop confus,


[NOTA : j'ai réussi à me retenir de parler d'ordinaux. Enfin
presque ]
--
Frédéric

[Anonyme]

ok j'ai compris
merci

Aurais-tu un exemple simple où l'utilisation de Z/pZ est pratique pour
que je comprenne comment on s'en sert ?

[Anonyme]

Le Wed, 28 Jan 2004 10:56:55 +0100
Rodolphe écrivit:

> Je ne comprend pas pourquoi Z/pZ est différent de Z. Où est mon erreur
> quand je montre Z/pZ inclus dans Z et Z inclus dans Z/pZ ?
> Merci pour ta réponse
>

On n'a ni Z/pZ inclus dans Z, ni l'inverse.
Z/pZ est un ensemble de classes de nombres Z un ensemble de nombres.
Dans un lycée, une classe n'est pas un élève et l'ensemble des classes
n'est pas l'ensemble des élèves.
Z/pZ est simplement isomorphe à une patie de Z.

Exemple: suppose que l'on parles de l'ensemble des TS d'un lycée et
qu'on y distingue un chef de classe dans chacune:

TS1: Arthur
TS2: Bérangère
TS3:Claudine
etc...
L'ensemble des TS ={TS1, TS2, TS3, ... }
On peut l'identifier à l'ensemble des chefs:
{Arthur,Bérangère,Claudine,..} et par abus de langage parler d'Arthur
pour la classe d'Arthur. Mais une classe ne sera jamais un élève ni
l'inverse, même s'il est le seul élève de la classe.

-- JJR.

[Anonyme]

Le Wed, 28 Jan 2004 11:26:46 +0100
Rodolphe écrivit:

> ok j'ai compris
> merci
>
> Aurais-tu un exemple simple où l'utilisation de Z/pZ est pratique pour
> que je comprenne comment on s'en sert ?
>
Quand tu fais la "preuve par 9" d'une opération
Tu définis 9 classes de nombres selon leurs restes dans la division par
9: classes de 0, ... ,9. Ensuite tu effectue l'opération dans cet
ensemble de classes:

3x2=6, 5x7=8 etc..
en fait, il faut comprendre
(classe de 3) x (classe de 2) = classe de 6
(classe de 5 )x(classe de 7)=classe de 8
etc..

--
JJR.

[Anonyme]

On Wed, 28 Jan 2004 11:26:46 +0100, Rodolphe wrote:
>ok j'ai compris
>merci
>
>Aurais-tu un exemple simple où l'utilisation de Z/pZ est pratique pour
>que je comprenne comment on s'en sert ?
[Je suppose que tu es en DEUG MIAS ou en Sup, sinon je ne sais
pas trop quoi raconter.]
Enfin, pas trop car la construction de Z/pZ n'apporte pas
grand'chose, ce qui compte c'est son comportement : on
peut le munir de lois d'addition et de multiplication, ce qui
en fait un anneau fini. On n'utilise donc (quasiment) jamais
les détails de la construction en pratique. Cela dit, par
exemple pour démontrer le théorème de Wilson : si p est
premier, alors n^p est congru à n modulo p.
* soit n est congru à 0 modulo p, et c'est direct,
* sinon on sait (cela se montre...) que Z/pZ privé de la
classe 0, et muni de la multiplication modulo, est un groupe
de cardinal p-1. Or le théorème de Lagrange affirme qu'un
élément puissance l'ordre du groupe (ici p-1) vaut 1.
Donc, modulo p, n^(p-1) = 1. On multiplie par n et voilà.

--
Fredéric

[Anonyme]

> etc...
> L'ensemble des TS ={TS1, TS2, TS3, ... }
> On peut l'identifier à l'ensemble des chefs:
> {Arthur,Bérangère,Claudine,..} et par abus de langage parler d'Arthur
> pour la classe d'Arthur. Mais une classe ne sera jamais un élève ni
> l'inverse, même s'il est le seul élève de la classe.

Et Z/12Z, c'est les heures sur une montre : 7h + 9h, ça fait 4h (ou 16
modulo 12 !).

[Anonyme]

Rodolphe a écrit:
> ok j'ai compris
> merci
>
> Aurais-tu un exemple simple où l'utilisation de Z/pZ est pratique pour
> que je comprenne comment on s'en sert ?

Ces groupes Z/pZ sont d'excellents modèles des groupes de symétries en
minéralogie (classement des ordres cristallins par les propriétés
géométriques des cristaux/réseaux).

[Anonyme]

Jean-Jacques Rétorré a écrit :
> Z/pZ est simplement isomorphe à une patie de Z.

Si tu parles de {0, ..., p-1} je suis pas trop d'accord, car il n'y a a
priori pas de loi intéressante sur cet ensemble (rien qui soit induit
par les lois sur Z en tout cas, autant que je sache). L'isomorphisme se
fait avec Z_p qui est {0, ..., p-1} munit de l'addition modulo p (càd
qu'on fait un quotient sans dire le mot, et en redémontrant que tout
marche bien "à la main")


--
Nico.

[Anonyme]

Le Wed, 28 Jan 2004 23:59:20 +0100
Nicolas Richard écrivit:

> Jean-Jacques Rétorré a écrit :[color=green]
> > Z/pZ est simplement isomorphe à une patie de Z.
>
> Si tu parles de {0, ..., p-1} je suis pas trop d'accord, car il n'y a
> a priori pas de loi intéressante sur cet ensemble (rien qui soit
> induit par les lois sur Z en tout cas, autant que je sache).
> L'isomorphisme se fait avec Z_p qui est {0, ..., p-1} munit de
> l'addition modulo p (càd qu'on fait un quotient sans dire le mot, et
> en redémontrant que tout marche bien "à la main")
>
>
> --
> Nico.[/color]

Autant pour moi. À trop vouloir simplifier les choses on finit par dire
des conneries.

--
JJR.

[Anonyme]

Dans un Z/4Z il y a 2*2=4=0
donc 2 est un diviseur de 0
Pas dans Z

[Anonyme]

Rodolphe wrote:

> Je ne comprend pas pourquoi Z/pZ est différent de Z. Où est mon erreur
> quand je montre Z/pZ inclus dans Z et Z inclus dans Z/pZ ?
> Merci pour ta réponse

Tout simplement: les éléments de Z/pZ sont des parties de Z (les "classes
d'équivalences") alors que les élements de Z sont des entiers.

Ensuite, on montre qu'une classe, çad un élement de Z/pZ s'écrit sous la
forme:

Ci = { i + k*p, k ds Z} = i_barre, avec: 0 <= i <= n-1

Z/pZ a alors p éléments.

Enfin, on montre que:

i_barre + j_barre = (i+j)_barre

i_barre*j_barre = (i*j)_barre

où on a éventuelement remplacé i+j ou i*j par leur reste ds la division par
p, pour corespondre avec les Ci du dessus..

** Remarquer que ces relations sont pour des ENSEMBLES!

Donc, la structure d'anneau de Z te donne une structure d'anneau sur
l'ensemple des parties Ci, apellé Z/pZ.

Ensuite, une aplication pratique... ben...

En fait, les Z/pZ sont au centre de la théorie des groupes en mathématiques.

Par exemple, tout corps fini est isomorphe à un (Z/pZ)^k, k ds Z...

Ensuite, l'exemple des heures et des minutes deja donné me semble très
concret.


--
Romain

[Anonyme]

Nicolas Richard wrote:

> Jean-Jacques Rétorré a écrit :[color=green]
>> Z/pZ est simplement isomorphe à une patie de Z.
>
> Si tu parles de {0, ..., p-1} je suis pas trop d'accord, car il n'y a a
> priori pas de loi intéressante sur cet ensemble (rien qui soit induit
> par les lois sur Z en tout cas, autant que je sache)[/color]

Ben...

En même temps, au sens propre,
{0, .., p-1} est en bijection avec Z/pZ, donc on peut lui induire une
structure de groupe par Z/pZ....


i + j = phi-1(phi(i) + phi(j)), etc..,
phi(i) = Ci = {i + k*n}

On vérifie les axiomes d'anneau par bijection...

--
Romain

[Anonyme]

Salut Fred,

> Par exemple : soit b l'ensemble {a} avec a = {1}.
> On a bien a élément de b, mais 1 n'est pas élément de b
> [sauf à considérer que l'axiome de fondation est faux,
> enfin je ne veux surtout pas t'embrouiller,
> cette remarque est juste pour faire bien].

Où est le rapport avec l'axiome de fondation ?
b est le singleton {a} (si tu préfères, la paire {a,a}) qui n'a qu'un
seul élément, a. Pour que 1 soit un élément de b, il faut (et suffit,
mais en tout cas il faut) que a=1 (extensionnalité), ie {{{}}}={{}}
(j'ai noté {} l'ensemble vide). Ce truc-là est manifestement faux (on
fait 2 fois l'extensionnalité), même si tu ajoutes la négation de
l'axiome de fondation à tes axiomes.

L'axiome de fondation dit que tout ensemble a une intersection vide
avec un de ses éléments, sa négation est qu'il existe un ensemble
d'intersection non vide avec chacun de ses éléments. Mais même si tu
ajoutes cet axiome de non-fondation à ton système, tu n'arriveras
jamais à montrer que l'ensemble en question est b (je suppose que
c'était l'idée). Par contre, si tu ajoutes à ton système un axiome du
genre "tout ensemble est d'intersection non vide avec chacun de ses
éléments" (il ne suffit donc pas que l'axiome de fondation soit faux,
il faut qu'il soit "archi-faux" ^_^), alors d'accord, 1 appartient à
b. Mais ton système est alors manifestement contradictoire

@ +
Pierre.

[Anonyme]

On 1 Feb 2004 14:51:41 -0800, Pierre Abbrugiati wrote:
>Salut Fred,
>[color=green]
>> Par exemple : soit b l'ensemble {a} avec a = {1}.
>> On a bien a élément de b, mais 1 n'est pas élément de b
>> [sauf à considérer que l'axiome de fondation est faux,
>> enfin je ne veux surtout pas t'embrouiller,
>> cette remarque est juste pour faire bien].
>
>Où est le rapport avec l'axiome de fondation ?[/color]
Il est clair pourtant. Le « 1 » en question peut être
n'importe quoi (personne n'oblige qui que ce soit à
prendre les entiers, d'ailleurs on est dans Z, comme
les ordinaux finis, construction un peu barbar).
Donc si 1 = {1}, ce qui est possible mais incompatible
avec l'axiome en question, b = {a} = {{1}} = {1}
donc 1 est élément de b.


>b est le singleton {a} (si tu préfères, la paire {a,a}) qui n'a qu'un
>seul élément, a. Pour que 1 soit un élément de b, il faut (et suffit,
>mais en tout cas il faut) que a=1 (extensionnalité), ie {{{}}}={{}}
>(j'ai noté {} l'ensemble vide). Ce truc-là est manifestement faux (on
>fait 2 fois l'extensionnalité), même si tu ajoutes la négation de
>l'axiome de fondation à tes axiomes.
Bin non, comme tu dis, ce truc là n'est pas si faux que cela.
Il n'est « manifestement faux » que si
1. tu utilises AF ou
2. tu utilises une construction explicite de Z, ce que personne ne
fait en pratique à part les théoriciens des ensembles.
>
>L'axiome de fondation dit que tout ensemble a une intersection vide
>avec un de ses éléments, sa négation est qu'il existe un ensemble
>d'intersection non vide avec chacun de ses éléments. Mais même si tu
>ajoutes cet axiome de non-fondation à ton système, tu n'arriveras
>jamais à montrer que l'ensemble en question est b (je suppose que
>c'était l'idée). Par contre, si tu ajoutes à ton système un axiome du
>genre "tout ensemble est d'intersection non vide avec chacun de ses
>éléments" (il ne suffit donc pas que l'axiome de fondation soit faux,
>il faut qu'il soit "archi-faux" ^_^), alors d'accord, 1 appartient à
>b. Mais ton système est alors manifestement contradictoire
Non. Pour pouvoir affirmer que ces deux choses étaient différentes,
il FAUT savoir que a différent de {a} et a priori, vu que l'on
ne sait pas ce qu'est a, on ne peut le faire que par AF. Le but
n'était pas de montrer que cet ensemble est b, mais de dire
pourquoi cette construction est fausse, et mon argument nécessite AF.
Ensuite, et pour ta gouverne, recherche hyperset et Aczel sur
google, on reparlera ensuite des systèmes manifestement contradictoires.

--
Frédéric

[Anonyme]

On Mon, 2 Feb 2004 09:20:06 +0000 (UTC), Frederic wrote:
>On 1 Feb 2004 14:51:41 -0800, Pierre Abbrugiati wrote:
>[...]
Ah oui, et pour être plus précis :
1 = { {} }, non, pas dans Z.
Dans N, vu comme omega, peut-être. Mais bof. Et Z est
généralement construit comme le quotient de N^2 par la
relation (x,y)=(z,t) x+y = z-y. Donc "1" serait
donc maintenant l'ensemble {(n+1, n) : n dans N} alias
plus précisemment Union sur n dans N des {{n, n+1},{n+1}}.
Donc montrer ce qu'on voulait sans AF, cela se fait, mais
que c'est pénible ! Et, encore une fois, c'est une très
mauvaise idée que d'utiliser la construction explicite
des entiers dans une démonstration, sauf si on fait explicitement
de la théorie des ensembles à des buts de logique, ce qui n'était
pas le cas. Car tout ce que l'on considère dans la vie de tous
les jours est bourré de plongements. Le 1 de N, de Z, de Q, de
R ! (Le 1 de R se définit de plein de façons différentes,
donnant des ensembles plus compliqués les uns que les autres :
1 serait l'ensemble des suites de Q, dont la limite est 1. Écrire
cela en terme d'unions et d'ensembles à deux éléments, en
partant de {}, est de la folie pure.
C'est pourquoi, il faut considérer « 1 » plutôt comme
un élément de première classe, comme on le voyait dans le temps :
1 n'a pas d'éléments. (On retombe sur la théorie naïve des ensembles.)

Ah oui, et je n'aime pas que l'on m'appelle Fred.

--
Frédéric