par Anonyme » 30 Avr 2005, 16:42
On 2 Feb 2004 11:05:55 -0800, Pierre Abbrugiati wrote:
>Bonjour Frédéric,
>[color=green][color=darkred]
>> >Où est le rapport avec l'axiome de fondation ?
>> Il est clair pourtant. Le « 1 » en question peut être
>> n'importe quoi (personne n'oblige qui que ce soit à
>> prendre les entiers, d'ailleurs on est dans Z, comme
>> les ordinaux finis, construction un peu barbar).
>> Donc si 1 = {1}, ce qui est possible mais incompatible
>> avec l'axiome en question, b = {a} = {{1}} = {1}
>> donc 1 est élément de b.[/color]
>
>Désolé, pour moi 1 c'est le successeur de {}, à savoir {{}}.
>L'explication qui suivait utilisait cette définition. Effectivement,
>si ce que tu écris 1 peut être n'importe quoi, on a besoin de l'axiome
>de fondation.
>
>C'est vrai que vu le contexte, il était peut-être naturel de penser
>que le 1 dont tu parlais n'était pas {{}} mais un élément de Z (comme
>je ne sais pas comment on construit Z, je veux bien admettre que le
>"1" de Z soit capable de vérifier 1 = {1} si on n'a pas l'axiome de
>fondation (même si je serais surpris qu'une construction naturelle de
>Z trouvable dans un bouquin lambda vérifie ça)).[/color]
Cf. mon rant de plus bas.
>
>
>[color=green]
>> Bin non, comme tu dis, ce truc là n'est pas si faux que cela.
>> Il n'est « manifestement faux » que si
>> 1. tu utilises AF ou
>> 2. tu utilises une construction explicite de Z, ce que personne ne
>> fait en pratique à part les théoriciens des ensembles.
>
>Là encore, je le re-souligne, mon explication ne tenait que pour 1 =
>{{}}.
>Mais tu mets le doigt sur un truc dont je n'avais jamais pris
>conscience qui est que effetivement, je n'ai jamais vu de construction
>de Z; et ça m'intéresserait pas mal ^_^.
>
>
>> Non. Pour pouvoir affirmer que ces deux choses étaient différentes,
>> il FAUT savoir que a différent de {a} et a priori, vu que l'on
>> ne sait pas ce qu'est a, on ne peut le faire que par AF. Le but
>> n'était pas de montrer que cet ensemble est b, mais de dire
>> pourquoi cette construction est fausse, et mon argument nécessite AF.
>
>Toujours pareil, mon raisonnement était basé sur 1={{}}.[/color]
Oui, c'est justement cela qui m'embête. Et ce, pour n'importe
quelle construction de 1 que tu choisirais.
[color=green]
>> Ensuite, et pour ta gouverne, recherche hyperset et Aczel sur
>> google, on reparlera ensuite des systèmes manifestement contradictoires.
>
>Franchement, des fois, je me demande si tu lis ce que j'écris.
>Je n'ai jamais écrit que ZF + non AF était contradictoire (ah oui moi
>je ne mets pas AF dans ZF, question de notation pas importante).
>Franchement, il faudrait que je sois complêtement C.. pour écrire ça!!
>J'ai ecris (je te prie d'être attentif cette fois): ZF + "tout
>ensemble est d'intersection non vide avec chacun de ses éléments" est
>contradictoire.
>Ce qui est clair car alors "{{}} est d'intersection non vide avec {}"
>est démontrable (à l'aide de l'axiome barbare en question) et sa
>négation l'est aussi car on peut montrer que tout ensemble a une
>intersection vide avec {}.[/color]
Oui, enfin tu disais que cette C... en question est ce que JE
supposais (c'était sous-entendu), ce qui n'est guère mieux.
Et c'est pour cela que ma réponse a été un peu vive.
[color=green]
>> Ah oui, et pour être plus précis :
>> 1 = { {} }, non, pas dans Z.
>> Dans N, vu comme omega, peut-être. Mais bof.
>
>Bin quoi "bof", c'est la définition de 1.
>Tu ouvres un livre, tu lis à l'endroit où on te définis 1 et tu lis
>ça.[/color]
Argh ! Oui mais non. Je réexplique mon propos :
* d'abord on construit N, vu comme le plus petit ordinal infini ;
* puis on construit Z comme quotient de N^2 ; et dès que
c'est fait, on dit que N se plonge dans Z de façon triviale,
et que maintenant « 1 » désigne indifférement le 1 de N et
le 1 de Z, qui sont deux choses mathématiques distinctes si
on regarde leur construction ;
* puis on construit Q comme quotient de Z * N*, et Z se
plonge dedans, et 1 désigne maintenant au choix le 1 de N, Z et Q ;
* puis on construit R, C, H, ... sachant que différentes constructions
existent pour chacun de ces ensembles.
Donc 1 n'est plus tout à fait un ensemble ordinaire, car
si on ne précise pas lequel on choisit et la construction
que l'on prend, on est embêté.
Mon propos est de dire que, certes, on peut utiliser
la structure de 1 comme ensemble, mais c'est MAL si on
ne fait pas un problème qui l'utilise explicitement.
[Il existe d'autres jeux d'axiomes dans lesquels 1 serait
un élément de première classe, i.e. ne pouvant apparaître
à droite du signe appartient.]
Par exemple, (je le redis plus bas mais je n'écris pas de façon
linéaire), les axiomes de Peano : si on décidait de faire
de l'arithmétique sur ces axiomes, (ce qui est un choix
loin d'être idiot pour ce qui est de la construction de N :
on dit « il existe au moins un ensemble muni de + et de 0
un élément distingué, et tel que ... », on le montre une
fois, à grand coups d'ordinaux. Mais quand on parle de N,
on parle de celui du théorème, PAS de celui de la démonstration,
car
1. il existe d'autres constructions de N, (qui hélas pour
moi vérifient aussi 1 = { {} } mais c'est une coincidence),
par exemple 0 = { } ; 1 = {{ }} ; 2 = {{{ }}} ; etc...
(Des gens sérieux l'ont utilisée) ; ou bien,
0 = {}, 1 = P(0), 2 = P(1), etc. miracle : ça marche aussi.
Les lambda-calculistes diraient : 0 = Lf. Lx. x, et
1 = Lf. Lx. f x ; et ainsi de suite.
2. quand on a démontré un théorème, on évite de se servir
des éléments de la preuve trois chapitres plus loin, ou
alors on met ces éléments dans le théorème. Et crois moi,
à part les théoriciens des ensembles, tous les mathématiciens
se contrefichent de la construction de N.
[color=green]
>> Et Z est généralement construit comme le quotient de N^2 par la
>> relation (x,y)=(z,t) x+y = z-y. Donc "1" serait
>> donc maintenant l'ensemble {(n+1, n) : n dans N} alias
>> plus précisemment Union sur n dans N des {{n, n+1},{n+1}}.
>> Donc montrer ce qu'on voulait sans AF, cela se fait, mais
>> que c'est pénible ! Et, encore une fois, c'est une très
>> mauvaise idée que d'utiliser la construction explicite
>> des entiers dans une démonstration, sauf si on fait explicitement
>> de la théorie des ensembles à des buts de logique, ce qui n'était
>> pas le cas.
>
>1) Je te remercie sincèrement pour cette construction de Z. Je la
>réclamais le paragraphe d'au dessus et tu me las donnes sans même
>attendre que je te la demande, cool!
>
>2) Puisque, même avec ton 1, on peut montrer, sans l'axiome de
>fondation, que 1{1}, c'est que ta remarque n'était pas bonne. Même
>si l'axiome de fondation est faux, 1 n'appartient pas à b.[/color]
On s'en moque de ma construction. Comme je le dis plus haut,
c'est MAL d'utiliser la structure de la construction des objets
si le problème n'y fait pas explicitement appel.
>J'ai du mal à cerner ton point de vue. "si je n'utilise pas cet outil,
>la démonstration de ce machin est très complexe, donc je dis que le
>machin est faux si je n'ai pas l'outil"??? Bon, ok, je caricaturise,
>mais j'ai vraiment cette impression en te lisant.
Effectivement, tu caricatures. Je n'ai jamais dit que ce
« ce machin est faux » si on n'utilise pas AF, simplement
que la démonstration est inintéressante et rendue quasi
impossible par l'absence de définition claire de ce qu'est 1.
En d'autres termes : ZF apporte ceci de plus à la théorie
naïve des ensembles que l'on peut tout définir à partir
de l'ensemble vide et de quelques axiomes et schémas.
MAIS on savait très bien régler le genre de questions
dont il s'agissait à l'origine sans ZF. La construction
de N, Z, Q, R, C, H c'est bien beau, mais c'est une vue
de l'esprit. Une fois que l'on a dit « ecce uno », on
s'empresse de cacher les détails pour NE PLUS JAMAIS
les ressortir. Franchement, un bouquin d'arithmétique qui
démontrerait un théorème d'arithmétique à l'aide de
la construction axiomatique de Z, je me méfierais.
Et puis, si tu regardes d'autres axiomatisations
(Peano par exemple), nul part il ne dit ce qu'est 1.
Il dit juste qu'il existe ; ça nous suffit.
[De ce point de vue, la théorie des catégories est bien
plus jolie, et c'est un prof (Éric Goubault) qui me le
faisait remarquer : en catégories, on se moque de
comment les objets sont construits, ce qui nous intéresse,
c'est ce qu'ils font / comment ils agissent.]
Je résume mon message un peu long :
La construction des objets mathématiques usuels, c'est
bien qu'elle existe, on la fait une fois pour se rassurer,
mais ensuite on l'oublie et on fait comme si on ne savait
rien de plus sur ces ensembles que les choses QUI LES
CARACTÉRISENT. Or 1 = { {} } n'est certainement pas une
caractérisation utile. C'est juste une construction.
1 = 0+, voici la caractérisation utile.
--
Frédéric, qui s'était leve tôt parce que ce matin, il avait
du travail. Raté...
