Z/pZ

[Anonyme]

Bonjour,

Soit p premier et a dans (Z/pZ)* (inversibles de Z/pZ) Comment montrer que
x->ax est une bijection de Z/pZ?

On veut ensuite montrer que qqsoit x dans (Z/pZ)*, x^k=1 ssi p-1 I k. Ici x est
d'ordre k et k divise le cardinal de (Z/pZ)*, soit p-1, donc ce ne serait pas k
I p-1 le bon enoncé plutot? comment faire pour l'implication reciproque?

enfin on veut utiliser ces resultats pour calculer S=Sum(x^k,x dans Z/pZ)
pour moi il y a 3 cas, donc il faut couper la somme en 3:

- si x appartient à (Z/pZ)* ou non
- si k I p-1

S=Sum(x^k,x dans (Z/pZ)* et kIp-1) + Sum(x^k,x dans (Z/pZ)* et k divise pas
p-1) + Sum(x^k,x dans Z/pZ\(Z/pZ)*)

la premiere somme fait p-1 , la deuxieme fait p*x puisque x->ax est bijective.
Le derniere je ne sais pas...

[Anonyme]

Wenceslas a écrit :
> Bonjour,
>
> Soit p premier et a dans (Z/pZ)* (inversibles de Z/pZ) Comment montrer que
> x->ax est une bijection de Z/pZ?
>
Tu montres que c'est injectif (a0 est inversible).
Puis injectif entre ensembles de même cardinal donc surjectif

> On veut ensuite montrer que qqsoit x dans (Z/pZ)*, x^k=1 ssi p-1 I k. Ici x est
> d'ordre k et k divise le cardinal de (Z/pZ)*, soit p-1, donc ce ne serait pas k
> I p-1 le bon enoncé plutot? comment faire pour l'implication reciproque?
>
en effet, l'ordre de tout élément divise l'ordre du groupe.
réciproquement, il faut savoir que (Z/pZ)* est cyclique d'ordre (p-1).
Soit a un générateur, si k divise (p-1), a^((p-1)/k) est d'ordre k

Alain

[Anonyme]

Wenceslas a écrit :
> Bonjour,
>
> Soit p premier et a dans (Z/pZ)* (inversibles de Z/pZ) Comment montrer que
> x->ax est une bijection de Z/pZ?
>
Tu montres que c'est injectif (a0 est inversible).
Puis injectif entre ensembles de même cardinal donc surjectif

> On veut ensuite montrer que qqsoit x dans (Z/pZ)*, x^k=1 ssi p-1 I k. Ici x est
> d'ordre k et k divise le cardinal de (Z/pZ)*, soit p-1, donc ce ne serait pas k
> I p-1 le bon enoncé plutot? comment faire pour l'implication reciproque?
>
en effet, l'ordre de tout élément divise l'ordre du groupe.
réciproquement, il faut savoir que (Z/pZ)* est cyclique d'ordre (p-1).
Soit a un générateur, si k divise (p-1), a^((p-1)/k) est d'ordre k

Alain

[Anonyme]

>en effet, l'ordre de tout élément divise l'ordre du groupe.
>réciproquement, il faut savoir que (Z/pZ)* est cyclique d'ordre (p-1).
>Soit a un générateur, si k divise (p-1), a^((p-1)/k) est d'ordre k

alors j'aimerai d'abord voir comment justifier que (Z/pZ)* est cyclique d'ordre
(p-1). Peut on le faire en disant que (Z/pZ)* est un sous groupe de Z/pZ et
que(ça se montre en exercice) tout sous groupe d'un groupe cyclique est
cyclique ?

cependant ce n'est pas tres naturel comme methode, il doit en avoir une plus
directe.

Ensuite si je comprends bien, puisqu'on a k divise p-1, et que p-1 est le
cardinal du groupe cyclique (Z/pZ)*, il existe ainsi un unique sous groupe G de
(Z/pZ)* de cardinal k. On a ainsi qqsoit x dans G, cl(x^k)=cl(1), mais ça ne
s'etend pas à (Z/pZ)* ?

[Anonyme]

> cependant ce n'est pas tres naturel comme methode, il doit en avoir une
plus
> directe.
>

Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est
cyclique... le Ramis est ton ami (en exercice) !!

[Anonyme]

Wenceslas a écrit :[color=green]
>>en effet, l'ordre de tout élément divise l'ordre du groupe.
>>réciproquement, il faut savoir que (Z/pZ)* est cyclique d'ordre (p-1).
>>Soit a un générateur, si k divise (p-1), a^((p-1)/k) est d'ordre k
>
>
> alors j'aimerai d'abord voir comment justifier que (Z/pZ)* est cyclique d'ordre
> (p-1). Peut on le faire en disant que (Z/pZ)* est un sous groupe de Z/pZ et
> que(ça se montre en exercice) tout sous groupe d'un groupe cyclique est
> cyclique ?[/color]

Attention, tu confonds le (Z/pZ, +) qui est un groupe (pour l'addition)
cyclique à p éléments avec ((Z/pZ)*,x) qui est un groupe (pour la
multiplication) à (p-1) éléments (les éléments non nuls). Ce dernier
groupe est cyclique d'ordre (p-1).
Le groupe multiplicatif N'EST PAS sous-groupe du groupe additif, ils
n'ont pas le même neutre: 0 pour l'additif, 1 pour le multiplicatif, de
toute façon leurs ordres sont premiers entre eux.

>
> cependant ce n'est pas tres naturel comme methode, il doit en avoir une plus
> directe.

Julien t'en a donné une raison, comme groupe multiplicatif fini d'un corps.

>
> Ensuite si je comprends bien, puisqu'on a k divise p-1, et que p-1 est le
> cardinal du groupe cyclique (Z/pZ)*, il existe ainsi un unique sous groupe G de
> (Z/pZ)* de cardinal k. On a ainsi qqsoit x dans G, cl(x^k)=cl(1), mais ça ne
> s'etend pas à (Z/pZ)* ?

oui où est le problème ? cl(x^k) = cl(x)^k = cl(1) dans le groupe
((Z/pZ)*,x) et
on a aussi cl(p.x) = p.cl(x) = cl(0) dans le groupe (Z/pZ,+)

Alain