Sommabilité

[Anonyme]

Pour quelles valeurs de réels a et b la somme
sum(sum( (mn)^(-a) (m+n)^(-b) n=1..+oo) m=1..oo) est finie ?

[Anonyme]

"J" a écrit dans le message de news:
XnF95D18DAC89511jules@212.27.42.68...
> Pour quelles valeurs de réels a et b la somme
> sum(sum( (mn)^(-a) (m+n)^(-b) n=1..+oo) m=1..oo) est finie ?

En sommant par rapport à n pour commmencer (ou m mais le problème est
symétrique), le terme général (mn)^(-a) (m+n)^(-b) est équivalent à
m^(-a)*n^(-a-b)
qui s'agit d'une série de Riemann en n donc elle converge ssi a+b>1
Par conséquent, lorsque a+b =0 et b>=0
Pour cela, on utilise la comparaison série-intégrale à deux variables (en
clair, (x,y)-->f(x,y)=(xy)^(-a) (x+y)^(-b) est "décroissante" lorsque
a,b>=0 c'est-à-dire x= f(x',y') (par minorations
élémentaires))
En utilisant les sommes partielles d'ordre N,M, on obtient (comme avec une
variable) que la famille considérée est sommable (lorsque a,b>=0) ssi la
fonction f est intégrable sur [1,+oo[^2.
Evaluons cette intégrale,
int(x=1 à +oo, (y=1 à +oo, (xy)^(-a) (x+y)^(-b) dxdy)

En effectuant le changement de variable y=xY (x fixé >=1, puisqu'on intègre
en premier par rapport à y), on a
int(x=1 à +oo, (y=1 à +oo, (xy)^(-a) (x+y)^(-b) dxdy)
=
int(x=1 à +oo, (Y=1/x à +oo, (Yx^2)^(-a)x^(-b) (1+Y)^(-b) dxdy)
=
int(x=1 à +oo, x^(-2a-b), (Y=1/x à +oo, (Y)^(-a)(1+Y)^(-b) dxdy)

L'intégrale int(Y=1/x à +oo, (Y)^(-a)(1+Y)^(-b) dY) converge (puisque a+b>1
et en utilisant un équivalent en +oo)
Lorsque x-->+oo, 1/x tend vers 0 et la fonction Y->(Y)^(-a)(1+Y)^(-b) est
équivalente en 0 à Y^(-a)

* ) si -1 0 int(Y=0 à +oo,
(Y)^(-a)(1+Y)^(-b) dY) =C

La fonction x--> x^(-2a-b) * int(Y=1/x à +oo, (Y)^(-a)(1+Y)^(-b) dY) est
équivalente à C*x^(-2a-b)
Cette dernière est intégrable en +oo ssi -2a-b 2a+b>1, ce qui est
toujours vrai car on a supposé a+b>1 et a,b>=0

*) si -a a>1 , la fonction Y-->Y->(Y)^(-a)(1+Y)^(-b) est
équivalente en 0 à Y^(-a) qui est non intégrable en Y=0.
Les restes d'intégrales divergentes montrent que
int(Y=z à +oo, (Y)^(-a)(1+Y)^(-b) dY) = int(Y=z à 1, (Y)^(-a)(1+Y)^(-b) dY)
+ int(Y=1 à +oo, (Y)^(-a)(1+Y)^(-b) dY) (qui est une constante) ~ int(Y=z à
1, (Y)^(-a) dY) = z^(-a+1)/(-a+1) + o(z^(-a+1)
lorsque z-->0
donc
int(Y=1/x à +oo, (Y)^(-a)(1+Y)^(-b) dY) ~ 1/(x^(-a+1)) = x^(a-1) quand
x-->+oo

ainsi la fonction
La fonction x--> x^(-2a-b) * int(Y=1/x à +oo, (Y)^(-a)(1+Y)^(-b) dY) est
équivalente à C*x^(-2a-b)*x^(a-1) = C*x^(-a-b-1) qui intégrable en =oo
car -a-b-1Y->Y^(-1)(1+Y)^(-b) est équivalente en 0 à
Y^(-1) qui est non intégrable en Y=0.
Les restes d'intégrales divergentes montrent que
int(Y=z à +oo, (Y)^(-1)(1+Y)^(-b) dY) = int(Y=z à 1, (Y)^(-1)(1+Y)^(-b) dY)
+ int(Y=1 à +oo, (Y)^(-1)(1+Y)^(-b) dY) (qui est une constante) ~ int(Y=z à
1, (Y)^(-1) dY) = ln(z)
lorsque z-->0
donc
int(Y=1/x à +oo, (Y)^(-a)(1+Y)^(-b) dY) ~ ln(1/x) = - ln(x) quand x-->+oo

ainsi la fonction
La fonction x--> x^(-2-b) * int(Y=1/x à +oo, (Y)^(-1)(1+Y)^(-b) dY) est
équivalente à -C*x^(-2-b)*ln(x) qui intégrable en =oo car elle est
négligeable devant x^(-3/2) (lnx = o(sqrt(x))

Conclusion :
lorsque a+b=0 et b>=0, la famille (mn)^(-a) (m+n)^(-b) est sommable ssi a+b>1

Il reste à traiter le cas a1.

* ) Si a1 alors b>1-a>1
Puisque b>1, l'encadrement classique

sqrt(m^2+n^2) =1 et on élève au carré puis en utilisant que
3m^2+3m^2-2mn=3(m-n/3)^2++8n^2/8>=0)

montre que l'on a
(mn)^(-a) (m^2+n^2)^(-b/2) => (mn)^(-a) (m+n)^(-b) > = C*(mn)^(-a)
(m^2+n^2)^(-b/2)

Ainsi, la famille (mn)^(-a) (m+n)^(-b) est sommable ssi la famille
*(mn)^(-a) (m^2+n^2)^(-b/2) est sommable

Par comparaison série-intégrale, on étudie la sommabilité de la famille
(mn)^(-a) (m^2+n^2)^(-b/2) donc on doit étudier la convergence de
l'intégrale
int(x>=1, y>=1, (xy)^(-a) (x^2+y^2)^(-b/2) dxdy )

De façon évidente, puisque [1,+oo[^2 est contenant dans le complémentaire du
quart de plan x>0 et y>0 du cercle unité, on a la majoration
int(x^2+y^2>=4, (xy)^(-a) (x^2+y^2)^(-b/2) dxdy) >= int(x>=1, y>=1,
(xy)^(-a) (x^2+y^2)^(-b/2) dxdy) => int(x^2+y^2>=1, (xy)^(-a)
(x^2+y^2)^(-b/2) dxdy)

En passant en polaire et en utilisant Fubini, les deux intégrales de gauche
et droite se ramènent essentiellement à l'intégrale unidimensionnelle
int(r=1 à +oo, r^(-2a-b) dr ) qui converge ssi -2a-b 0 et -b-1 donc la condition -2a-b1

*) si b1, alors a>1-b>1
Puisque -b>0, l'encadrement classique
(x+1)^r 0 et C(r) étant une constante
(cela résulte que la fonction x--> (x+1)^r/[x^r+1] est continue sur R+ et
tend vers 1 en +oo lorsque r>0 donc elle est bornée sur R+)
montre que (x+1)^(-b) 1)
De même la famille m^(-a)*n^(-a-b) est sommable donc la famille (mn)^(-a)
(m+n)^(-b) est sommable lorsque b1

Conclusion définitive :
La famille (mn)^(-a) (m+n)^(-b) est sommable ssi (a>0 et b>0 et a+b >1)
ou (b1)

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[Anonyme]

> En sommant par rapport à n pour commmencer (ou m mais le problème est
> symétrique), le terme général (mn)^(-a) (m+n)^(-b) est équivalent à
> m^(-a)*n^(-a-b)
> qui s'agit d'une série de Riemann en n donc elle converge ssi a+b>1
> Par conséquent, lorsque a+b sommable.

Jusque là pas de problème

> [etc.]
> La famille (mn)^(-a) (m+n)^(-b) est sommable ssi (a>0 et b>0 et a+b >1)
> ou (b1)

Mais tout ça (ça ne servait à rien que je cite tout le message) n'est pas
facile sans aucune indication.
Pourtant la question a été posée telle quelle à Centrale l'an dernier
(m04cm1e, question III.C.3) (je me souviens que je n'avais pas su la faire
!).
N'y aurait-il pas plus simple pour résoudre une question qui correspond à un
tout petit pourcentage du nombre total de questions dans un sujet de
concours ?