[1èS] recherche de fonction

[Anonyme]

Bonjour,

Je cherche une fonction qui doit respecter plusieurs caractéristiques, mais
je ne sais comment mener ma recherche...
Voilà les conditions que doit respecter la fonction f :
- f(0) = 0
- f'(0) = 0
- pour tout x de l'intervalle [3;4], f(x) supérieur ou égal à 5
- la limite de f(x) quand x tend vers +oo est égale à 0
- f est positive et dérivable sur [0;+oo[

A partir de la fonction carré, j'ai trouvé un raccord de plusieurs fonctions
qui réalise l'ensemble des conditions énoncées :
y=5x^2/9 sur [0;3]
y=(-10/3)*(x-3,5)^2+35/6 sur ]3;4]
y=5((x-7)^2)/9 sur ]4;+oo] (et je viens de me rendre compte que la limite de
cette fonction en +oo n'est pas 0, mais bon tant pis..)

Je suis curieux de savoir si *n'importe quelle* trajectoire (à partir du
moment où x ne possède qu'une image) peut être modélisée par une fonction.
D'où ma 2ème question : à partir des 3 fonctions énoncées ci-dessus, peut-on
en reconstituer une seule qui respecte toutes les conditions énoncées ?
quelle serait la méthode pour l'obtenir ?

Merci d'avance...

--
Morse

[Anonyme]

On Sat, 21 Feb 2004 12:19:56 +0100, Morse wrote:


> Je suis curieux de savoir si *n'importe quelle* trajectoire (à partir du
> moment où x ne possède qu'une image) peut être modélisée par une fonction.

C'est quoi une trajectoire ???

> D'où ma 2ème question : à partir des 3 fonctions énoncées ci-dessus,


tu n'as qu'une seule fonction en haut non ???

> en reconstituer une seule qui respecte toutes les conditions énoncées ?
> quelle serait la méthode pour l'obtenir ?

"une seule fonction" ? tu veux dire donnée par une formule qui marche
partout ?

[Anonyme]

aera a écrit :

> C'est quoi une trajectoire ???

Je repose ma question différemment :
On considère n'importe quelle courbe dans un repère orthonormé. Est-il
possible de modéliser cette courbe, quelle qu'elle soit, à l'aide d'une
fonction ? Autrement dit, existe-t-il systématiquement une fonction, plus ou
moins complexe, telle que sa représentation graphique corresponde à la
courbe ?

> tu n'as qu'une seule fonction en haut non ???

Euh, ben non, j'ai 3 fonctions :
f(x)=5x^2/9
g(x)=(-10/3)*(x-3,5)^2+35/6
et h(x)=5((x-7)^2)/9
[color=green]
>> en reconstituer une seule qui respecte toutes les conditions
>> énoncées ? quelle serait la méthode pour l'obtenir ?
>
> "une seule fonction" ? tu veux dire donnée par une formule qui marche
> partout ?[/color]

Oui, je voudrais obtenir une unique fonction, dont la représentation
graphique corresponde à celle définie par les 3 fonctions ci dessus, sur les
intervalles respectifs.

J'espère m'être exprimé plus clairement, du moins plus précisément...

--
Morse

[Anonyme]

Dans le message:c17esi$ai3$1@news-reader4.wanadoo.fr,
Morse a écrit:
> Bonjour,
>
> Je cherche une fonction qui doit respecter plusieurs
> caractéristiques, mais je ne sais comment mener ma recherche...
> Voilà les conditions que doit respecter la fonction f :
> - f(0) = 0
> - f'(0) = 0
> - pour tout x de l'intervalle [3;4], f(x) supérieur ou égal à 5
> - la limite de f(x) quand x tend vers +oo est égale à 0
> - f est positive et dérivable sur [0;+oo[
>
Pour répondre aux critères 1,2,4 et 5 la fonction x²exp(-x) vient assez
naturellement à l'esprit (x² assure le comportement cherché en 0 et
exp(-x) celui à l'infini). Elle est positive et indéfiniment dérivable
sur R.
La dérivée (2x-x²)exp(-x) s'annule par ailleurs en x=2, donc cette
fonction décroit sur [3;4].
Elle vaut 16 exp(-4) en x=4
Il suffit donc de la multiplier par une constante k >= 5 exp(4)/16 pour
respecter le critère 3.
Par exemple k=18 et f(x)=18x²exp(-x)

> A partir de la fonction carré, j'ai trouvé un raccord de plusieurs
> fonctions qui réalise l'ensemble des conditions énoncées :
> y=5x^2/9 sur [0;3]
> y=(-10/3)*(x-3,5)^2+35/6 sur ]3;4]
> y=5((x-7)^2)/9 sur ]4;+oo] (et je viens de me rendre compte que la
> limite de cette fonction en +oo n'est pas 0, mais bon tant pis..)
>
> Je suis curieux de savoir si *n'importe quelle* trajectoire (à partir
> du moment où x ne possède qu'une image) peut être modélisée par une
> fonction. D'où ma 2ème question : à partir des 3 fonctions énoncées
> ci-dessus, peut-on en reconstituer une seule qui respecte toutes les
> conditions énoncées ? quelle serait la méthode pour l'obtenir ?

Modélisée par une fonction ? veux-tu dire une fonction donnée par une
expression analytique ? et unique ? Si c'est la question, la réponse est
non.

--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

Moi je chercherais une fraction rationnelle f; x-> P(x)/Q(x) (la solution
exponentielle est déjà prise)
P je prendrais x^2, ce qui m'assure la nullité de f et de sa dérivée en 0
Q je prendrais un polynôme de degré 3 qui ne s'annulle pas sur R+ pour avoir
la limité en +oo, la positivité et la dérivabilité
Pour le dernier critère, je multiplie par 25, la fonction étant décroissante
sur [3,4], et ainsi f(4)>5

Fonction finale f:x->25*x^2/(x^3+1)

Pour ton autre question, il n'existe pas toujours une expression analytique
pour décrire une trajectoire, mais tu peux toujours décreter que tu appelles
f la fonction qui à un point en associe un autre. En somme la fonction
existe toujours, mais elle n'est pas toujours exprimable à l'aide des
fonctions et des opérateurs usuels...

[Anonyme]

bc92 wrote:

> Pour répondre aux critères 1,2,4 et 5 la fonction x²exp(-x) vient assez
> naturellement à l'esprit (x² assure le comportement cherché en 0 et
> exp(-x) celui à l'infini). Elle est positive et indéfiniment dérivable
> sur R.

Pour un élève de 1ère S moyen, la fonction exponentielle n'étant abordée
qu'en terminale S, c'est du chinois ^^

--
Romain Mouton
« La culture, c'est comme l'amour. Il faut y aller par petits coups au
début pour bien en jouir plus tard. » P.Desproges

[Anonyme]

Dans le message:40376bfd$0$282$a3f2974a@nnrp1.numericable.fr,
Romain Mouton a écrit:
> bc92 wrote:
>[color=green]
>> Pour répondre aux critères 1,2,4 et 5 la fonction x²exp(-x) vient
>> assez naturellement à l'esprit (x² assure le comportement cherché en
>> 0 et exp(-x) celui à l'infini). Elle est positive et indéfiniment
>> dérivable sur R.
>
> Pour un élève de 1ère S moyen, la fonction exponentielle n'étant
> abordée qu'en terminale S, c'est du chinois ^^[/color]

Très juste, mes excuses à Morse.
--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

bc92 a écrit :

> Pour répondre aux critères 1,2,4 et 5 la fonction x²exp(-x) vient
> assez naturellement à l'esprit (x² assure le comportement cherché en
> 0 et exp(-x) celui à l'infini). Elle est positive et indéfiniment
> dérivable sur R.
> La dérivée (2x-x²)exp(-x) s'annule par ailleurs en x=2, donc cette
> fonction décroit sur [3;4].
> Elle vaut 16 exp(-4) en x=4
> Il suffit donc de la multiplier par une constante k >= 5 exp(4)/16
> pour respecter le critère 3.
> Par exemple k=18 et f(x)=18x²exp(-x)

Merci !

> Modélisée par une fonction ? veux-tu dire une fonction donnée par une
> expression analytique ? et unique ? Si c'est la question, la réponse
> est non.

OK, donc je pouvais toujours chercher...

--
Morse

[Anonyme]

bc92 a écrit :
[color=green]
>> Pour un élève de 1ère S moyen, la fonction exponentielle n'étant
>> abordée qu'en terminale S, c'est du chinois ^^
>
> Très juste, mes excuses à Morse.[/color]

Pas grave, ce n'est pas à 100% du chinois quand même... Et c'est les
vacances, je vais avoir le temps de jeter un coup d'oeil au programme de
terminale.

--
Morse

[Anonyme]

Vincent Tejedor a écrit :

> Moi je chercherais une fraction rationnelle f; x-> P(x)/Q(x) (la
> solution exponentielle est déjà prise)
> P je prendrais x^2, ce qui m'assure la nullité de f et de sa dérivée
> en 0
> Q je prendrais un polynôme de degré 3 qui ne s'annulle pas sur R+
> pour avoir la limité en +oo, la positivité et la dérivabilité
> Pour le dernier critère, je multiplie par 25, la fonction étant
> décroissante sur [3,4], et ainsi f(4)>5
>
> Fonction finale f:x->25*x^2/(x^3+1)

Impeccable, merci, je vois un peu mieux le raisonnement à adopter.

> Pour ton autre question, il n'existe pas toujours une expression
> analytique pour décrire une trajectoire, mais tu peux toujours
> décreter que tu appelles f la fonction qui à un point en associe un
> autre. En somme la fonction existe toujours, mais elle n'est pas
> toujours exprimable à l'aide des fonctions et des opérateurs usuels...

OK. Dans un exo, on peut aussi définir une fonction f, par exemple, qui
associe x^2 sur tel intervalle, et 1/x sur tel autre ? Ou il faut alors
parler de deux fonctions différentes ?

--
Morse

[Anonyme]

Morse wrote:

> OK. Dans un exo, on peut aussi définir une fonction f, par exemple, qui
> associe x^2 sur tel intervalle, et 1/x sur tel autre ? Ou il faut alors
> parler de deux fonctions différentes ?

C'est bien une et une seule fonction. On utilise pour la *décrire* deux
fonctions connues, mais au final ce n'est qu'une seule fonction.

C'est un peu comme l'ornithorynque (j'ai un sérieux doute sur
l'orthographe) si tu veux - on peut en décrire des morceaux genre un bec
de canard, des griffes de taupe (me semble-t-il), mais au final ça
reste un et un seul animal.

--
Romain Mouton
« La culture, c'est comme l'amour. Il faut y aller par petits coups au
début pour bien en jouir plus tard. » P.Desproges

[Anonyme]

Romain Mouton a écrit :

> C'est bien une et une seule fonction. On utilise pour la *décrire*
> deux fonctions connues, mais au final ce n'est qu'une seule fonction.

Oki.

> C'est un peu comme l'ornithorynque (j'ai un sérieux doute sur
> l'orthographe) si tu veux - on peut en décrire des morceaux genre un
> bec de canard, des griffes de taupe (me semble-t-il)

J'aime bien la comparaison Par contre je pense qu'une taupe
n'apprécierait pas, car il me semble qu'un ornithorynque a plutôt des
pattes palmées, vu que ça va dans l'eau. Enfin on n'en voit pas tous les
jours. Et là on s'éloigne des fonctions.

Merci.

--
Morse