Problème de dénombrement

[Anonyme]

Au jeu d'échecs il y a 32 pièces (Pour chaque couleur, un Roi, une Dame,
deux Tours, deux Fous, deux Cavaliers et huit pions).

Sur l'échiquier le nombre de pièces peut varier entre 2 et 32.

Dans ce problème on exlcu les promotions.

Combien de jeu de n pièces différrent peut-on avoir sur l'échiquier?

Pour n=2 une solution : Les deux Rois
Pour n=3 dix solutions (évident)
....
Pour n=32 une solution : Toutes les pièces
Pour n=31 dix solutions (évident)

Et pour n compris entre 4 et 30.?

[Anonyme]

Rosalie Mignon wrote:

> Au jeu d'échecs il y a 32 pièces (Pour chaque couleur, un Roi, une Dame,
> deux Tours, deux Fous, deux Cavaliers et huit pions).
>
> Sur l'échiquier le nombre de pièces peut varier entre 2 et 32.
>
> Dans ce problème on exlcu les promotions.
qu'est ce qu'une promotion ?
>
> Combien de jeu de n pièces différrent peut-on avoir sur l'échiquier?
>
> Pour n=2 une solution : Les deux Rois
je ne comprends pas...
un roi et une dame par exemple ne convient pas ? ou deux pions ?

> Pour n=3 dix solutions (évident)
> ...
> Pour n=32 une solution : Toutes les pièces
> Pour n=31 dix solutions (évident)
>
> Et pour n compris entre 4 et 30.?

Peut-être que si tu éclaires notre lanterne...

--
albert

[Anonyme]

albert junior :
[color=green]
>> Sur l'échiquier le nombre de pièces peut varier entre 2 et 32.
>>
>> Dans ce problème on exlcu les promotions.
> qu'est ce qu'une promotion ?[/color]

C'est quand on amène le pion dans le camp adverse et qu'on prend une
dame.
[color=green]
>> Pour n=2 une solution : Les deux Rois[/color]

Oui si on ne tient pas compte de la position des pièces et qu'on
tient compte des règles des échecs (toujours un roi en jeu).
[color=green]
>> Combien de jeu de n pièces différrent peut-on avoir sur
>> l'échiquier?[/color]

Il y a au moins les deux rois, donc on est restreint à choisir n-2
pièces parmi les 30 restantes,
soit (n-2,30) = 30!/(n-2)!(32-n)! jeux différents.


Sinon il y a touours moyen de chipoter selon qu'il y a un ou deux
rois, si il faut tenir compte des positions, voir si il y a pat...
mais là ça devient inextricable...

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Bonjour,

"Michel" a écrit :
[color=green]
>> qu'est ce qu'une promotion ?[/color]

> C'est quand on amène le pion dans le camp adverse et qu'on prend une
> dame.

Une promotion peut aussi transformer le pion en tour, cavalier, fou....

[Anonyme]

albert junior[color=green]
> > Pour n=2 une solution : Les deux Rois
> je ne comprends pas...
> un roi et une dame par exemple ne convient pas ? ou deux pions ?[/color]

Les deux rois ne quittent jamais l'échiquier. C'est la règle.

Pierre

[Anonyme]

> Il y a au moins les deux rois, donc on est restreint à choisir n-2
> pièces parmi les 30 restantes,
> soit (n-2,30) = 30!/(n-2)!(32-n)! jeux différents.
>

Je ne suis pas d'accord, si tu prends un Roi noir, un Roi blanc et les poins
blancs n°1 et n°2
c'est parreil que le même avec les pions n°3 et 4. Plutôt qu'un problème de
sous-ensembles
ce serait plutôt un problème de partition d'entiers en termes tous majorés
par la quantité de pièces de chaque type...

Le truc est plus compliqué, ça ressemble au problème de compter le nombre de
monômes a^n*b^p*c^q de degré fixé

[Anonyme]

Rémy Oudompheng a écrit :

> ce serait plutôt un problème de partition d'entiers en termes tous majorés
> par la quantité de pièces de chaque type...

Oui je pense que c'est cela.

J'ai fait le petit progamme suivant en Pascal (Delphi):

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
Var DB,DN,FB,FN,CB,CN,TB,TN,PB,PN : Shortint;
N : Integer;
begin
N:=0;
For DB := 0 to 1 do
For DN := 0 to 1 do
For FB := 0 to 2 do
For FN := 0 to 2 do
For CB := 0 to 2 do
For CN := 0 to 2 do
For PB := 0 to 8 do
For PN := 0 to 8 do
N:=N+1;
Result.Caption := IntToStr(N);
end;
end.

et j'obtiens 26244 jeux de pièces différents.

J'espère n'avoir pas commis d'erreur.


"Rémy Oudompheng" a écrit dans le message de
news:canjvk$1md$1@apollon.grec.isp.9tel.net...[color=green]
> > Il y a au moins les deux rois, donc on est restreint à choisir n-2
> > pièces parmi les 30 restantes,
> > soit (n-2,30) = 30!/(n-2)!(32-n)! jeux différents.
> >
>
> Je ne suis pas d'accord, si tu prends un Roi noir, un Roi blanc et les[/color]
poins
> blancs n°1 et n°2
> c'est parreil que le même avec les pions n°3 et 4. Plutôt qu'un problème
de
> sous-ensembles
> ce serait plutôt un problème de partition d'entiers en termes tous majorés
> par la quantité de pièces de chaque type...
>
> Le truc est plus compliqué, ça ressemble au problème de compter le nombre
de
> monômes a^n*b^p*c^q de degré fixé
>
>

[Anonyme]

Oups ! j'ai oublié les tours

Le programme correct montre (si on exclut les promotions) qu'
il y a 236 196 jeux de pièces possibles sur un échiquier.
Voici le nombre de jeu de pièces suivant le nombre total de pièces :
N = 2 ->1
N = 3 ->10
N = 4 ->53
N = 5 ->194
N = 6 ->546
N = 7 ->1254
N = 8 ->2445
N = 9 ->4170
N = 10 ->6378
N = 11 ->8940
N = 12 ->11697
N = 13 ->14484
N = 14 ->17109
N = 15 ->19320
N = 16 ->20820
N = 17 ->21354
N = 18 ->20820
N = 19 ->19320
N = 20 ->17109
N = 21 ->14484
N = 22 ->11697
N = 23 ->8940
N = 24 ->6378
N = 25 ->4170
N = 26 ->2445
N = 27 ->1254
N = 28 ->546
N = 29 ->194
N = 30 ->53
N = 31 ->10
N = 32 ->1

On remarque une symétrie (2+i et 32 - i ont le même nombre de solutions)

Même si ces dispositions de pièces ne sont pas toutes "équilibrées" (que
penser de celle ou les Blancs ont toutes leurs pièces et les Noirs leur seul
Roi par exemple), cela laisse de la marge aux compositeurs d'études !
"Rosalie Mignon" a écrit dans le message de
news:caprb0$ig3$1@news-reader4.wanadoo.fr...
> Rémy Oudompheng a écrit :
>[color=green]
> > ce serait plutôt un problème de partition d'entiers en termes tous[/color]
majorés[color=green]
> > par la quantité de pièces de chaque type...
>
> Oui je pense que c'est cela.
>
> J'ai fait le petit progamme suivant en Pascal (Delphi):
>
> procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
> Var DB,DN,FB,FN,CB,CN,TB,TN,PB,PN : Shortint;
> N : Integer;
> begin
> N:=0;
> For DB := 0 to 1 do
> For DN := 0 to 1 do
> For FB := 0 to 2 do
> For FN := 0 to 2 do
> For CB := 0 to 2 do
> For CN := 0 to 2 do
> For PB := 0 to 8 do
> For PN := 0 to 8[/color]
do
> N:=N+1;
> Result.Caption := IntToStr(N);
> end;
> end.
>
> et j'obtiens 26244 jeux de pièces différents.
>
> J'espère n'avoir pas commis d'erreur.
>
>
> "Rémy Oudompheng" a écrit dans le message de
> news:canjvk$1md$1@apollon.grec.isp.9tel.net...[color=green][color=darkred]
> > > Il y a au moins les deux rois, donc on est restreint à choisir n-2
> > > pièces parmi les 30 restantes,
> > > soit (n-2,30) = 30!/(n-2)!(32-n)! jeux différents.
> > >
> >
> > Je ne suis pas d'accord, si tu prends un Roi noir, un Roi blanc et les[/color]
> poins
> > blancs n°1 et n°2
> > c'est parreil que le même avec les pions n°3 et 4. Plutôt qu'un problème
> de
> > sous-ensembles
> > ce serait plutôt un problème de partition d'entiers en termes tous[/color]
majorés[color=green]
> > par la quantité de pièces de chaque type...
> >
> > Le truc est plus compliqué, ça ressemble au problème de compter le[/color]
nombre
> de[color=green]
> > monômes a^n*b^p*c^q de degré fixé
> >
> >
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>[/color]