Polynôme minimal

[Anonyme]

Bonsoir,

On a une matrice A=(a_{ij})_{1 0
3) Im f inter Ker f {0} et K^n est la somme directe de Im f^2 et Kerf ^2

Je dois déterminer le polynôme caractéristique de f ainsi que son polynôme
minimal.
Je trouve pour le poynôme caractéristique P= (-1)^n*X^(n-1)*(lambda-X).
Pour déterminer le polynôme minimal, je dis que le polynôme caractéristique
et le polynôme minimal ont les facteurs irréductibles donc le polybôme
minimal Pi_f est de la forme X^k*(lambda-X) avec 1<=k<=n-1.
Je cherche donc à déterminer k.
Si f était diagonalisable, Pi_f est scindé à racines simples donc ce serait
X*(lambda - X) mais malheureusement il ne l'est car dim Ker f = n-2 et 0
est de multiplicité n-1 dans P.
Que faire?

Je ne crois pas que les hypothèses mentionnées ci-dessus soient nécessaires
car on les a utilisées dans l'exo pour trouver la matrice A.

Merci d'avance.

Cédric.

[Anonyme]

"Cédric ALLALI" a écrit dans le message de
news:3fbbbd0e$0$2249$79c14f64@nan-newsreader-02.noos.net...

Bonsoir Cédric

>
> On a une matrice A=(a_{ij})_{1 partout ailleurs des 0.
> A est associée à l'endomorphisme f de K^n qui a les propriétés suivantes:
> 1) rg(f)=2
> 2) f^2 0
> 3) Im f inter Ker f {0} et K^n est la somme directe de Im f^2 et Kerf
^2

Il y a un problème parcequ'avec la matrice A ci-dessus Im f inter Ker f =
{0}
Si (e_1, .., e_n) est la base canonique : ker f = vect(e_2, ..., e_{n-1})
A.e_1 = e_1, A.e_n = b.e_1 + lambda.e_n, A.e_i = 0 2 <= i <= n-1

Alain

[Anonyme]

Cédric ALLALI wrote:
> Je trouve pour le poynôme caractéristique P= (-1)^n*X^(n-1)*(lambda-X).
> Pour déterminer le polynôme minimal, je dis que le polynôme caractéristique
> et le polynôme minimal ont les facteurs irréductibles donc le polybôme
> minimal Pi_f est de la forme X^k*(lambda-X) avec 1 Je cherche donc à déterminer k.

En regardant la matrice, j'ai l'impression que k est "petit"...genre <=3 .
ça doit pas être difficile de le prouver ça, non ?
en regardant les images des vecteurs de la base canonique par exemple..

[Anonyme]

"Osiris" wrote in message
news:bpi187$4ub$1@biggoron.nerim.net...
> En regardant la matrice, j'ai l'impression que k est "petit"...genre ça doit pas être difficile de le prouver ça, non ?
> en regardant les images des vecteurs de la base canonique par exemple..

En fait k=2, pour s'en convaincre soit on calcule M^2*(M-lamda*In) et on
trouve 0, soit on utilise les propriétés des espaces caractéristiques.