Polynome minimal

[Anonyme]

salut,

dans mon cours sur les matrices (deug sm) on calcule le polynome
minimal d'une matrice en disant qu'il divise le polynome
caractéristique et qu'il a les mêmes racines.

on établi ainsi une liste de tous les diviseurs du polynome
caractéristique triés par degré croissant, et on repère le premier qui
annule la matrice.


ok, mais bon la liste peut parfois etre longue... et s'il faut se taper
tous les calculs pour voir si le i-eme polynome est nul, et donc le
bon.. ça devient très vite TRES chiant.


quelle autre méthode utiliser pour déterminer le polynome minimal d'une
matrice ?

merci, a+

--
Nico,
http://astrosurf.com/nicoastro
messenger : nicolas_aunai@hotmail.com

[Anonyme]

> quelle autre méthode utiliser pour déterminer le polynome minimal d'une
> matrice ?

Calculer A, A^2, A^3, et voir si elles n'ont pas une forme sympathique
permettant de deviner une relation linéaire entre elles.

--
Maxi

[Anonyme]

In article ,
Nicolas Aunai wrote:

> ....
> quelle autre méthode utiliser pour déterminer le polynome minimal d'une
> matrice ? ....


Voici la méthode démodée que je connais. Réduire la matrice
((lambda)I - A) par des opérations élémentaires, peut-être et des
lignes et des colonnes. Il faut atteindre à une matrice diagonale S aux
éléments polynomes satisfaisant à

(i < j) implique (S_ii divise S_jj).

(C'est la forme canonique de H. J. S. Smith.) Le dernier élément
non-zéro de S est le polynome minimale de A.

(Veuillez pardonner le français inexact d'un anglophone!)

Ken Pledger.

[Anonyme]

Nicolas Aunai wrote:

> salut,
>
> dans mon cours sur les matrices (deug sm) on calcule le polynome
> minimal d'une matrice en disant qu'il divise le polynome
> caractéristique et qu'il a les mêmes racines.
>
> on établi ainsi une liste de tous les diviseurs du polynome
> caractéristique triés par degré croissant, et on repère le premier qui
> annule la matrice.

Si le polynome minimal a les memes racines, ca ne doit pas laisser beaucoup
de choix : tous les facteurs irreductibles du polynome caractéristique
doivent apparaitre dans le polynome minimal. Algorithmiquement, ca se
construit facilement (avec un logiciel de CF par ex.).

> ok, mais bon la liste peut parfois etre longue... et s'il faut se taper
> tous les calculs pour voir si le i-eme polynome est nul, et donc le
> bon.. ça devient très vite TRES chiant.

Tu peux commencer par les plus petits possibles, ils marchent souvent si la
matrice est diagonalisable (ou presque).

\bye

--

Nicolas FRANCOIS
http://nicolas.francois.free.fr

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