Olympiades

[Anonyme]

(internationales)
considérez un triangle équilatéral ABC inscrit dans un cercle (C). puis un
point M intérieur à ABC.
enfin tracez la droite (AM) et notez A' le point d'intersection de (AM) et
(C).
quelle position de M minimise (MBxMC)/MA'?

[Anonyme]

MesNa a écrit
> considérez un triangle équilatéral ABC inscrit dans un
> cercle (C). puis un point M intérieur à ABC. enfin tracez
> la droite (AM) et notez A' le point d'intersection de (AM)
> et (C). quelle position de M minimise (MBxMC)/MA'?

Déjà le point M est sur la droite AO, où O est le centre du
cercle (C). Pour un produit MB * MC donné, c'est en effet
là que MA' est maximum.

Si on place M sur cette droite il ne reste plus qu'à poser
OM = x et à trouver x.

On a MA' = R - x, où R est le rayon du cercle (C)

On a MB = MC = f(x) qui peut s'exprimer en fonction de
R et de x (Pythagore devrait suffire).

Y'apuka exprimer
g(x) = MB * MC / MA'
= f²(x) / (R - x)

et à calculer le point x pour lequel la dérivée g '(x) est nulle.

Théoriquement ...

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" a écrit dans le message news:
c4m52h$2jqp56$1@ID-138445.news.uni-berlin.de...
> MesNa a écrit[color=green]
> > considérez un triangle équilatéral ABC inscrit dans un
> > cercle (C). puis un point M intérieur à ABC. enfin tracez
> > la droite (AM) et notez A' le point d'intersection de (AM)
> > et (C). quelle position de M minimise (MBxMC)/MA'?
>
> Déjà le point M est sur la droite AO, où O est le centre du
> cercle (C).[/color]


non, M est quelconque, donc pas forcément sur (AO).
j'ai essayé avec les triangles semblables et le produit scalaire... bof.
la manière analytique me donne bien une fonction de ... deux variables
deux degrés de libertés,
pas bon, çà, en première...
(même après, vu l'allure de la fonction)




Pour un produit MB * MC donné, c'est en effet
> là que MA' est maximum.
>
> Si on place M sur cette droite il ne reste plus qu'à poser
> OM = x et à trouver x.
>
> On a MA' = R - x, où R est le rayon du cercle (C)
>
> On a MB = MC = f(x) qui peut s'exprimer en fonction de
> R et de x (Pythagore devrait suffire).
>
> Y'apuka exprimer
> g(x) = MB * MC / MA'
> = f²(x) / (R - x)
>
> et à calculer le point x pour lequel la dérivée g '(x) est nulle.
>
> Théoriquement ...
>
> --
> Pierre
> pierre-capdevila@wanadoo.fr
>

[Anonyme]

MesNa wrote:

> non, M est quelconque, donc pas forcément sur (AO).
> j'ai essayé avec les triangles semblables et le produit scalaire... bof.
> la manière analytique me donne bien une fonction de ... deux variables
> deux degrés de libertés,
> pas bon, çà, en première...
> (même après, vu l'allure de la fonction)
>

j'avais pensé à la puissance d'un point par rapport à un cercle, mais je
n'ai pas réussi à aboutir...

albert

[Anonyme]

parce que le souci, c'est le niveau de la question : à traiter
impérativement au niveau 1S.


"albert junior" a écrit dans le message
news: 406ea8bd$0$16652$636a15ce@news.free.fr...
> MesNa wrote:
>[color=green]
> > non, M est quelconque, donc pas forcément sur (AO).
> > j'ai essayé avec les triangles semblables et le produit scalaire... bof.
> > la manière analytique me donne bien une fonction de ... deux variables
> > deux degrés de libertés,
> > pas bon, çà, en première...
> > (même après, vu l'allure de la fonction)
> >
>
> j'avais pensé à la puissance d'un point par rapport à un cercle, mais je
> n'ai pas réussi à aboutir...
>
> albert
>[/color]

[Anonyme]

Bonjour à Pierre Capdevila qui nous a écrit :
> MesNa a écrit[color=green]
>> considérez un triangle équilatéral ABC inscrit dans un
>> cercle (C). puis un point M intérieur à ABC. enfin tracez
>> la droite (AM) et notez A' le point d'intersection de (AM)
>> et (C). quelle position de M minimise (MBxMC)/MA'?
>
> Déjà le point M est sur la droite AO, où O est le centre du
> cercle (C). Pour un produit MB * MC donné, c'est en effet
> là que MA' est maximum.[/color]

ça, c'est vrai, ça !...

> Si on place M sur cette droite il ne reste plus qu'à poser
> OM = x et à trouver x.
>
> On a MA' = R - x, où R est le rayon du cercle (C)

Petite correction : MA' = R + x

> On a MB = MC = f(x) qui peut s'exprimer en fonction de
> R et de x (Pythagore devrait suffire).
>
> Y'apuka exprimer
> g(x) = MB * MC / MA'
> = f²(x) / (R - x)

soit : g(x) = (x + R) - ( xR / (x + R) )

> et à calculer le point x pour lequel la dérivée g '(x) est nulle.

soit : g'(x) = x (x + 2R) / (x + R)²

On trouve : x = 0 (pour M dans le cercle)
et : g(0) = R

> Théoriquement ...

et en pratique aussi...

PS : est-ce niveau première ?

--
Cordialement, Thierry

[Anonyme]

mézenfin
MA' maxi n'implique pas MB.MC/MA' mini! vu que A' dépend de M, et donc de
MA, etc.

kengchose m'échappe?


"Cenekemoi" a écrit dans le
message news: c50rrf$7ak$1@news-reader2.wanadoo.fr...
> Bonjour à Pierre Capdevila qui nous a écrit :[color=green]
> > MesNa a écrit[color=darkred]
> >> considérez un triangle équilatéral ABC inscrit dans un
> >> cercle (C). puis un point M intérieur à ABC. enfin tracez
> >> la droite (AM) et notez A' le point d'intersection de (AM)
> >> et (C). quelle position de M minimise (MBxMC)/MA'?
> >
> > Déjà le point M est sur la droite AO, où O est le centre du
> > cercle (C). Pour un produit MB * MC donné, c'est en effet
> > là que MA' est maximum.[/color]
>
> ça, c'est vrai, ça !...
>
> > Si on place M sur cette droite il ne reste plus qu'à poser
> > OM = x et à trouver x.
> >
> > On a MA' = R - x, où R est le rayon du cercle (C)
>
> Petite correction : MA' = R + x
>
> > On a MB = MC = f(x) qui peut s'exprimer en fonction de
> > R et de x (Pythagore devrait suffire).
> >
> > Y'apuka exprimer
> > g(x) = MB * MC / MA'
> > = f²(x) / (R - x)
>
> soit : g(x) = (x + R) - ( xR / (x + R) )
>
> > et à calculer le point x pour lequel la dérivée g '(x) est nulle.
>
> soit : g'(x) = x (x + 2R) / (x + R)²
>
> On trouve : x = 0 (pour M dans le cercle)
> et : g(0) = R
>
> > Théoriquement ...
>
> et en pratique aussi...
>
> PS : est-ce niveau première ?
>
> --
> Cordialement, Thierry
>[/color]