Nilpotence

[Anonyme]

Bonjour je ne parviens pas à démontrer l'implication suivante et je
sollicite donc votre aide

Mq: Soit A un matrice carrée de taille n*n

A nilpotente implique pour tout k non nul entier naturel
Tr(A^k)=0

mon objectif est de montrer que toute matrice nilpotente est semblable à une
matrice triangullarire supérieure stricte mais je n'y parviens pas
merci pour vos réponses

[Anonyme]

> Mq: Soit A un matrice carrée de taille n*n
>
> A nilpotente implique pour tout k non nul entier naturel
> Tr(A^k)=0

Tout d'abord, il existe un polynome non identiquement
nul tel que \sum_{0=t.
Pour t-1, utiliser le polynome pour exprimer
A^{t-1} en fonction de A^s avec s>=t
etc.

JQCA,
Amities,
Olivier

[Anonyme]

Gauss wrote:

> Bonjour je ne parviens pas à démontrer l'implication suivante et je
> sollicite donc votre aide
>
> Mq: Soit A un matrice carrée de taille n*n
>
> A nilpotente implique pour tout k non nul entier naturel
> Tr(A^k)=0
>
> mon objectif est de montrer que toute matrice nilpotente est semblable à
> une matrice triangullarire supérieure stricte mais je n'y parviens pas
> merci pour vos réponses

Bonsoir,

Si A est une matrice nilpotente de période q. Il bien clair que son noyau
n'est pas nulle (A^q=0), en d'autres termes 0 est une valeur propre.
Supposons que l soit une valeur propre alors il existe V vecteur non nul
tel que AV=lV d'ou A^pV=lV puis l=0. 0 est sa seule valeur propre de A donc
sa trace est nulle. Je te laisse finir.

Cordialement,

-- Eric Guirbal

[Anonyme]

Eric Guirbal wrote:

> Gauss wrote:
>[color=green]
>> Bonjour je ne parviens pas à démontrer l'implication suivante et je
>> sollicite donc votre aide
>>
>> Mq: Soit A un matrice carrée de taille n*n
>>
>> A nilpotente implique pour tout k non nul entier naturel
>> Tr(A^k)=0
>>
>> mon objectif est de montrer que toute matrice nilpotente est semblable à
>> une matrice triangullarire supérieure stricte mais je n'y parviens pas
>> merci pour vos réponses
>[/color]
Bonsoir,

Si A est une matrice nilpotente de période q, il bien clair que son
noyau n'est pas nul (A^q=0), en d'autres termes 0 est une valeur propre.
Supposons que l soit une valeur propre alors il existe V vecteur non nul tel
que AV=lV d'ou A^p V=l^p V puis l=0. 0 est sa seule valeur propre de A
donc sa trace est nulle. Je te laisse finir.

Cordialement,

-- Eric Guirbal

[Anonyme]

On Sun, 16 Jan 2005 17:51:03 +0100, Gauss wrote:

> mon objectif est de montrer que toute matrice nilpotente est semblable à une
> matrice triangullarire supérieure stricte mais je n'y parviens pas

Une méthode élégante est d'utiliser les inclusion des "Ker itérés",
Ker u^0 < Ker u^2 < ... < Ker u^p = E
où < est la relation d'inclusion ensembliste et p est l'indice de
nilpotence, et de construire une base à partir de ces Ker, puis d'écrire
la matrice de l'endomorphisme nilpotent u dans cette base.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

"Michel" a écrit dans le message de news:
pan.2005.01.16.17.18.30.807000@alussinan.org...
> On Sun, 16 Jan 2005 17:51:03 +0100, Gauss wrote:
>[color=green]
>> mon objectif est de montrer que toute matrice nilpotente est semblable à
>> une
>> matrice triangullarire supérieure stricte mais je n'y parviens pas
>
> Une méthode élégante est d'utiliser les inclusion des "Ker itérés",
> Ker u^0 où nilpotence, et de construire une base à partir de ces Ker, puis d'écrire
> la matrice de l'endomorphisme nilpotent u dans cette base.
>
> --
> Michel [overdose@alussinan.org][/color]

merci a tous pour vos réponses

[Anonyme]

"Gauss" a écrit dans le message de news:
41eaef2d$0$25815$8fcfb975@news.wanadoo.fr...

> merci a tous pour vos réponses
>

et tu peux aussi dire que X^n est polynôme annulateur, donc que le minimal
est X^p, donc que la seule valeur propre dans C est 0. En trigonalisant dans
C, tu vois que la trace est nulle.

[Anonyme]

"Gauss" a écrit dans le message de news:
41ea9b7a$0$6444$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Bonjour je ne parviens pas à démontrer l'implication suivante et je
> sollicite donc votre aide
>
> Mq: Soit A un matrice carrée de taille n*n
>
> A nilpotente implique pour tout k non nul entier naturel
> Tr(A^k)=0
>
> mon objectif est de montrer que toute matrice nilpotente est semblable à
> une matrice triangullarire supérieure stricte mais je n'y parviens pas
> merci pour vos réponses
>
>

Puisque A est nilpotente, il existe p entier non nul tel que A^p = 0. Mais
alors, le polynome X^p est un polynome annulateur de A et son polynome
minimal qui en est un diviseur est lui aussi une puissance de X (inférieure
à p). Il en est alors de même de son polynome caractéristique et celui-ci
est donc scindé. C'est à dire qu'il a toutes ses racines dans le corps de
base.

Mais une telle matrice est trigonalisable et A est donc semblable à une
matrice triangulaire supérieure (ou inférieure, ça dépend de l'ordre dans
lequel on prend les vecteurs de la base). Les éléments de la diagonale sont
les valeurs propres de A, c'est-à-dire les racines du polynome
caracctéristique ... qui, on l'a vu, n'admet que 0 pour racine. La diagonale
ets donc constituée de 0 et la matrice est strictement triangulaire.

G.