Nilpotence et idéal

[Anonyme]

Bonsoir,

Ca fait une heure que je m'arrache les cheveux la dessus:
Montrer que les éléments nilpotents d'un anneau commutatif forment un idéal.

Merci d'abréger mes souffrances...

[Anonyme]

Antoine wrote:
> Bonsoir,
>
> Ca fait une heure que je m'arrache les cheveux la dessus:
> Montrer que les éléments nilpotents d'un anneau commutatif forment un idéal.
>
> Merci d'abréger mes souffrances...

Si tu prends un élément nilpotent et que tu le multiplie par ce que tu
veux, ça reste nilpotent par commutativité.
Et pour montrer que c'est un sous-groupe, en prenant deux éléments
nilpotents a et b de degrés de nilpotence m et n, alors la somme (a+b)
est de degré de nilpotence inférieure à m+n : il suffit d'écrire le
développement de (a+b)^(m+n), en n'oubliant pas qu'on est dans le cas
commutatif. Les termes ont alors en facteur soit du a^m, soit du b^n. Je
te laisse conclure ^^

--
Romain Mouton
« Je recèle en moi des réserves d'ennui pratiquement inépuisables. Je
suis capable de m'ennuyer pendant des heures sans me faire chier. »
P.Desproges

[Anonyme]

"Romain Mouton" a écrit dans le message de news:
3fb1498b$0$244$a3f2974a@nnrp1.numericable.fr...
> Antoine wrote:[color=green]
> > Bonsoir,
> >
> > Ca fait une heure que je m'arrache les cheveux la dessus:
> > Montrer que les éléments nilpotents d'un anneau commutatif forment un[/color]
idéal.[color=green]
> >
> > Merci d'abréger mes souffrances...
>
> Si tu prends un élément nilpotent et que tu le multiplie par ce que tu
> veux, ça reste nilpotent par commutativité.[/color]

Je suis désolé je vois tjs pas...
Soit x tel que x^n=1
Soit y quelconque appartenant à A
Pourquoi xy est nilpotent?

> Et pour montrer que c'est un sous-groupe, en prenant deux éléments
> nilpotents a et b de degrés de nilpotence m et n, alors la somme (a+b)
> est de degré de nilpotence inférieure à m+n : il suffit d'écrire le
> développement de (a+b)^(m+n), en n'oubliant pas qu'on est dans le cas
> commutatif. Les termes ont alors en facteur soit du a^m, soit du b^n. Je
> te laisse conclure ^^
>
> --
> Romain Mouton
> « Je recèle en moi des réserves d'ennui pratiquement inépuisables. Je
> suis capable de m'ennuyer pendant des heures sans me faire chier. »
> P.Desproges
>

[Anonyme]

Antoine wrote:
> "Romain Mouton" a écrit dans le message de news:
> 3fb1498b$0$244$a3f2974a@nnrp1.numericable.fr...
>[color=green]
>>Antoine wrote:
>>[color=darkred]
>>>Bonsoir,
>>>
>>>Ca fait une heure que je m'arrache les cheveux la dessus:
>>>Montrer que les éléments nilpotents d'un anneau commutatif forment un[/color]
>
> idéal.
>[color=darkred]
>>>Merci d'abréger mes souffrances...
>>
>>Si tu prends un élément nilpotent et que tu le multiplie par ce que tu
>>veux, ça reste nilpotent par commutativité.[/color]
>
>
> Je suis désolé je vois tjs pas...
> Soit x tel que x^n=1[/color]

Euh la nilpotence c'est x^n = 0 (le neutre de l'addition).

> Soit y quelconque appartenant à A
> Pourquoi xy est nilpotent?

Parce que (xy)^n = x^n . y^n = 0, et ce parce qu'on est dans un anneau
commutatif.

--
Romain Mouton
« Je recèle en moi des réserves d'ennui pratiquement inépuisables. Je
suis capable de m'ennuyer pendant des heures sans me faire chier. »
P.Desproges

[Anonyme]

"Romain Mouton" a écrit dans le message de news:
3fb14f59$0$247$a3f2974a@nnrp1.numericable.fr...
> Antoine wrote:[color=green]
> > "Romain Mouton" a écrit dans le message de news:
> > 3fb1498b$0$244$a3f2974a@nnrp1.numericable.fr...
> >[color=darkred]
> >>Antoine wrote:
> >>
> >>>Bonsoir,
> >>>
> >>>Ca fait une heure que je m'arrache les cheveux la dessus:
> >>>Montrer que les éléments nilpotents d'un anneau commutatif forment un
> >
> > idéal.
> >
> >>>Merci d'abréger mes souffrances...
> >>
> >>Si tu prends un élément nilpotent et que tu le multiplie par ce que tu
> >>veux, ça reste nilpotent par commutativité.
> >
> >
> > Je suis désolé je vois tjs pas...
> > Soit x tel que x^n=1[/color]
>
> Euh la nilpotence c'est x^n = 0 (le neutre de l'addition).[/color]

ah ben alors dans ce cas ca marche Désolé

[Anonyme]

Le Tue, 11 Nov 2003 21:42:35 +0100 Romain Mouton a
écrit :

> Antoine wrote:[color=green]
> > Bonsoir,
> >
> > Ca fait une heure que je m'arrache les cheveux la dessus:
> > Montrer que les éléments nilpotents d'un anneau commutatif forment un
> > idéal.
> >
> > Merci d'abréger mes souffrances...
>
> Si tu prends un élément nilpotent et que tu le multiplie par ce que tu
> veux, ça reste nilpotent par commutativité.
> Et pour montrer que c'est un sous-groupe, en prenant deux éléments
> nilpotents a et b de degrés de nilpotence m et n, alors la somme (a+b)
> est de degré de nilpotence inférieure à m+n : il suffit d'écrire le
> développement de (a+b)^(m+n), en n'oubliant pas qu'on est dans le cas
> commutatif. Les termes ont alors en facteur soit du a^m, soit du b^n. Je
>
> te laisse conclure ^^[/color]

Si jeune mabuse, comme dit un confrere, il suffit de considerer
(a+b)^(m+n-1).

\bye

--

Nicolas FRANCOIS
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