Minimum de modules

[Anonyme]

Bonjour,

On note P_n(x) = somme(x^k/k!, k=0..n).
On demande d'étudier la convergence de la suite (r_n) où
r_n est le minimum des modules des racines complexes de P_n.



Je ne sais si le fait que P'_n = P_{n-1} est utilisable dans
l'exercice.
J'ai essayé de voir à l'aide de Maple ce que cela donnait.

evalf(map(abs, [solve(sum(x^k/k!, k=0..20))]));
Le minimum est 6.47.
Il me semble que la suite est croissante.
Il faudrait soit montrer qu'elle est majorée, soit qu'elle ne
l'est pas (et aussi prouver la croissance), mais je ne vois
pas comment faire.

Auriez-vous une indication ?
D'avance merci.

Iulius

[Anonyme]

"Iulius" a écrit dans le message de
news: 2u6r12F255b62U1@uni-berlin.de...
> Bonjour,
>
> On note P_n(x) = somme(x^k/k!, k=0..n).
> On demande d'étudier la convergence de la suite (r_n) où
> r_n est le minimum des modules des racines complexes de P_n.
>
>
>
> Je ne sais si le fait que P'_n = P_{n-1} est utilisable dans
> l'exercice.

Si la suite (r(n)) admet une valeur d'adhérence L

On a P_(f(n))(r(f(n))=0
En passant à la limite, tu obtiens exp(L)=0 donc la suite n'admet aucune
valeur d'adhérence donc la suite des module tend vers +oo (faire par
l'absurde en supposant qu'une infinité de terme sont de module borné)

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[Anonyme]

"masterbech" a écrit dans le message de news:
417e4100$0$32577$636a15ce@news.free.fr...
> Si la suite (r(n)) admet une valeur d'adhérence L
>
> On a P_(f(n))(r(f(n))=0
> En passant à la limite, tu obtiens exp(L)=0

Pour justifier le passage à la limite, tu utilises que
abs(exp(x)-Pn(x)) <= exp(abs(x))*abs(x)^(n+1)/(n+1) (Taylor)

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[Anonyme]

Masterbech a écrit :
[color=green]
>>On note P_n(x) = somme(x^k/k!, k=0..n).
>>On demande d'étudier la convergence de la suite (r_n) où
>>r_n est le minimum des modules des racines complexes de P_n.
>
> Si la suite (r(n)) admet une valeur d'adhérence L
>
> On a P_(f(n))(r(f(n))=0
> En passant à la limite, tu obtiens exp(L)=0[/color]


r(n) n'est pas racine de P(n).
r(n) est le minimum des modules des racines de P(n).

Si vous associez à r(n) une racine z(n) qui convient, on a
alors bien P_(f(n))(z(f(n))=0 et la preuve marche.

Iulius