Matrice à diagonale dominante

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai A=(aij) de Mn(C) telle que abs(aii)>bi=somme de la valeur abs de ts les
autres termes de la ligne (A est donc inversible)

soit D=diag(a11,...ann) et L=D-A

on suppose de plus que qqsoit i, aii>0 (en gros la diagonale est reelle
strictement positive),j'ai montré que detA>0.

On demande maintenant de montrer que toute valeur propre de D^(-1)L est de
module strictement inférieur à 1.

J'ai culculé D^(-1)L=In-D^(-1)A, c'est une matrice à diagonale nulle, mais je
ne vois pas comment étudier ses valeurs propres.

On pose X0,B dans C^n et D*X_k+1=L*X_k+B. Prouver que (X_k) converge vers X tel
que AX=B

Ben là je n'ai pas trop d'idée non plus. Il faut sans doute utiliser la
question precedente, il faut ainsi choisir une norme pour parler de la
convergence....

merci

[Anonyme]

"Wenceslas" a écrit dans le message de news:
20040113141538.15174.00003046@mb-m04.aol.com...
> Bonjour,
>
> J'ai A=(aij) de Mn(C) telle que abs(aii)>bi=somme de la valeur abs de ts
les
> autres termes de la ligne (A est donc inversible)
>
> soit D=diag(a11,...ann) et L=D-A
>
> on suppose de plus que qqsoit i, aii>0 (en gros la diagonale est reelle
> strictement positive),j'ai montré que detA>0.

tu supposes alors que A est à coefficients réels sinon c'est faux :
(2,i,
1,2)

>
> On demande maintenant de montrer que toute valeur propre de D^(-1)L est de
> module strictement inférieur à 1.

Soit z une valeur propre de D^(-1)L . En écrivant les n équations
correspondantes, en utilisant que (aii)> somme(ji, abs(a(i,j))) tu
obtiens que
quelque soit k,
abs(z)*abs(xk)k, abs(xj)) où xj est la jème coordonnée du vecteur
propre asocié à z.
donc abs(z)*abs(xk))0)

> On pose X0,B dans C^n et D*X_k+1=L*X_k+B. Prouver que (X_k) converge vers
X tel
> que AX=B

Le théorème sur le rayon spectral montre que lim(N'(L^k))^(1/k)=sum( abs(z),
z valeur propre de L)N(L^k))=s^k
donc N(X(k+1)-Xk)AX=B